<T->
          Projeto Radix
          Matemtica 8 ano
 
          Jackson Ribeiro

          Impresso Braille em 
          11 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, Editora 
          Scipione S.A., So 
          Paulo, 2011. 
          
          Quinta Parte  
   
          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350/368
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<P>
          Ttulo original: Projeto 
          Radix -- Matemtica -- 8 ano
          Copyright (C) 
          Jackson Ribeiro

          ISBN 978-85-2627303-0

          Gerncia editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Carlos Augusto Rodrigues Lima

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar intermedirio ala "B" Freguesia do 
          CEP 02909-900 -- 
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          E-mail: ~,scipione@scipione.~ 
          com.br~,
<P>
<F->
                               I
Sumrio

Quinta Parte

Mdulo 5

Captulo 9 -- Clculo 
  algbrico 
Para comear ::::::::::::::: 405 
Expresses algbricas, 
  frmulas e equaes ::::::: 407 
Monmios ::::::::::::::::::: 423
Operaes com monmios ::::: 430 
Polinmios ::::::::::::::::: 447 
Produtos notveis :::::::::: 480
Fatorao de polinmios :::: 504 
Mmc de polinmios :::::::::: 514 
Fraes algbricas ::::::::: 521
Complementando... :::::::::: 530 
Algo a mais :::::::::::::::: 541 
  O ndice de Massa 
  Corporal 
Atividades de reviso :::::: 544 
Lendo textos ::::::::::::::: 559 
  O emprego das letras no 
  clculo 
<F+>
<128>
<P>
<tp. radix mat. 8>
<T+405>
Mdulo 5

Captulo 9 -- Clculo algbrico

<R+>
_`[{foto: O matemtico Andrew Wiles olha para a foto, do matemtico amador "Pierre 
Fermat (1601-1665)" que est pensando: "A equao xn+yn=zn, no tem soluo para *n* inteiro maior que 2."_`]
<R->

Para comear

  Voc j imaginou que pudesse existir um problema matemtico que 
demorou mais de trs sculos para ser resolvido? Pois esse problema 
existe e foi criado por um matemtico amador chamado Pierre de 
Fermat (1601-1665) por volta de 1637. Fermat no apresentou sua 
resoluo, ao invs disso, deixou um recado na margem de um livro 
dizendo que esta era muito estreita para cont-la. 
  Estudado por diversos matemticos ao longo dos anos, o problema 
parecia no ter soluo. No entanto, esse fato no intimidou o 
matemtico Andrew Wiles, que desde os 10 anos, quando o viu pela 
primeira vez, sonhou em resolv-lo. Em 1993, esse professor da Universidade de Princeton (Estados Unidos) surpreendeu a todos ao 
anunciar que tinha resolvido o problema. Porm, uma falha em sua 
resoluo fez com que 
 Wiles voltasse  pesquisa por mais 14 meses 
e, finalmente, em 1995, ganhasse o *Prmio Wolfskehl*, destinado ao 
primeiro que resolvesse o problema de 
 Fermat. 

<R+>
1. Voc gosta de resolver problemas de Matemtica? Em duplas, proponha um desafio ma-
  temtico ao seu colega. Se necessrio, 
utilize um livro. 
<P>
 2. Quantos anos o problema de Fermat demorou para ser resolvido? 
<R->
 
<129>
Expresses algbricas, frmulas e 
  equaes 

  Em algumas situaes  necessrio utilizar letras 
para representar nmeros. Na Matemtica, a parte que 
estuda a representao de letras no lugar de nmeros 
 chamada lgebra. Esse nome surgiu da expresso 
*al-jabr*, do livro *Al-Jabr wa'l mugabalah* publicado pelo 
matemtico rabe Al-Khowarizmi por volta do ano 830. 
  As letras podem aparecer em expresses, frmulas e equaes. 
<P>
  Veja alguns exemplos nos quais podemos usar letras no lugar de nmeros. 

Exemplo 1 

  Joo tem certa quantia em reais. Fernando tem R$7,00 a mais que Joo e Amanda tem o dobro da quantia de Fernando. 
  Para representar a quantia que cada um deles possui, vamos escrever expresses algbricas. Para isso, chamamos a quantia que Joo possui de *x*. 
 
Joo: x
 Fernando: x+7
 Amanda: 2`(x+7`)

  No exemplo anterior, a letra *x* pode assumir valores como R$10,00, R$15,00, entre outros. 
<P>
Saiba que... 

  As letras que aparecem nas expresses algbricas so chamadas variveis, pois podem assumir diversos valores. 

Exemplo 2 

  Para representarmos o permetro e a rea do quadrado a seguir, podemos escrever as seguintes frmulas. 

<F->
     x
  pccccc
  l     _
x l     _ x        
  l     _
  v-----#
     x
<F+>

Permetro
  P=x+x+x+x
  P=4x
<P>
 rea
  A=x.x
  A=x2

Saiba que... 

  As frmulas so sentenas matemticas que mostram de maneira resumida os clculos 
que devem ser realizados para chegarmos a um determinado resultado. 
As letras que aparecem na frmula tambm so variveis, pois podem assumir diversos valores. 

<130>
Exemplo 3 

  A quantidade de CDs que Isadora possui menos 7 CDs  igual  quantidade de CDs que aparece a seguir. 

<R+>
_`[{foto de uma caixa com a frente aberta e dentro dela h 11 CDs_`]
<R->
<P>
  Quantos CDs Isadora possui? 
  Podemos determinar a soluo desse problema escrevendo uma equao. Para isso, vamos chamar 
de *x* a quantidade de CDs que Isadora possui. 

x-7=11 

  Resolvendo a equao, temos: 

 x-7=11 
 x-7+7=11+7 
 x=18 

  Isadora possui 18 CDs.

Saiba que... 

  Equao  uma sentena matemtica expressa por uma igualdade, em que h pelo menos uma letra que representa um nmero desconhecido. A essa letra chamamos incgnita. 

  Em algumas situaes  necessrio obter o valor numrico de uma expresso. Nesse caso, substitumos as letras, ou seja, as variveis de uma expresso por nmeros. 
  Veja a seguir um exemplo de como podemos obter o valor numrico de uma expresso. 
  A fileira a seguir foi construda com cubos de dimenses diferentes. 

_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
Fileira composta por trs cubos amarelos, com aresta medindo *x*, quatro cubos na cor verde, com aresta medindo 1 m e dois cubos amarelos.

Ateno: Cubos de mesma cor tm medidas iguais.
<R->

  Para representar o comprimento total dessa fileira, podemos escrever uma expresso algbrica e, em seguida, simplific-la. 

x+x+x+1+1+1+1+x+x
 x+x+x=3x
 1+1+1+1=4
 x+x=2x
 3x+4+2x
 3x+2x=5x
 3x+4+2x=5x+4

  A expresso que representa o comprimento da fileira de cubos  5x+4. 
  Se a medida da aresta do cubo amarelo fosse igual a 3 m, ou seja, se x=3, qual seria o comprimento total dessa fileira? 
  Para responder a essa pergunta, podemos realizar o seguinte clculo. 

 5x+4 
 5.3+4=15+4=19 

  O comprimento total dessa fileira seria 19 m. 

<131>
Atividades 

<R+>
1. Nas fichas a seguir aparecem expresses algbricas 
e equaes. Classifique-as em seu caderno. 

_`[{fichas: x3-2x2+12; 7x2+4x=10; 5x2-9x+13; 
  7-4x2+5x; 2x+3x2=16; -11x+24; 3x+x2=10_`]

 2. Associe cada frase a uma expresso. Para isso, 
escreva 
  no caderno a letra e o smbolo romano correspondentes. 
 a) A metade do nmero *x* mais 2. 
 b) O dobro de *x* mais o quadrado de *x*. 
 c) O triplo de *x* menos 7 mais a quinta parte do dobro de *x*. 
<R->

I) 2x+x2
 II) 3x-7+2x5
 III) x2+2

<R+>
3. Escreva uma expresso algbrica no caderno 
para representar cada uma das frases a seguir. 
<P>
 a) O triplo do nmero *x* mais 4.  
 b) O quadrado do nmero *a* mais o dobro desse nmero. 
 c) A metade do nmero *m* menos 5. 
 d) O quntuplo do nmero *b* mais a oitava parte desse nmero menos 3.  
 e) A quarta parte do nmero *n* menos 4 mais o quadrado de *n*.  
<R->

<R+>
 4. No quadro a seguir a expresso algbrica est associada a uma frase. 
<R->

_`[{quadro adaptado_`]

<R+>
2x-x3: O dobro de um nmero menos a sua tera parte.
<R->

<R+>
Observe as expresses a seguir e escreva no 
caderno uma frase associada a cada uma delas. 
<R->
 a) 3x+5
 b) x2-4x
 c) x2-3
 d) x32-x
 e) x23+x
 f) 2x3+x5

<R+>
5. A sequncia de figuras a seguir foi desenhada em uma malha quadriculada. 
<R->

_`[{sequncia adaptada_`]

1)
  y
  yy 

2)
  y
  y
  yy

3)
  y
  y
  y
  yy
<P>
4)
  y
  y
  y
  y
  yy

<R+>
Responda, no caderno, s seguintes questes: 
 a) Quantos quadradinhos tem a figura 2? E a figura 4? 
 b) Se essa sequncia continuar, quantos quadradinhos deve ter a figura 6?  
 c) De acordo com a sequncia, escreva uma expresso algbrica que represente a quantidade de quadradinhos para uma figura *x* qualquer.
 d) De acordo com a expresso algbrica que voc escreveu, efetue os clculos e descubra quantos quadradinhos deve ter a: 
 figura 10
 figura 16
 figura 27
<R->
 
Desafio
<R+>
 6. Em cada quadro, os nmeros de cada coluna se relacionam de acordo com uma regra. Descubra qual  a regra e escreva no caderno o ltimo nmero de cada quadro. 
<R->
 I)
<F->
!::::::::::::::::::::::::::
l 2 _ 5  _ 12,5 _ 15 _ A  _
r::::w:::::w:::::::w:::::w:::::w
l 6 _ 15 _ 37,5 _ 45 _ ''' _
h::::j:::::j:::::::j:::::j:::::j

II)
!:::::::::::::::::::::::::
l 1 _ 7  _ 12 _ 5,4 _ B  _
r::::w:::::w:::::w::::::w:::::w
l 3 _ 9  _ 14 _ 7,4 _ ''' _
h::::j:::::j:::::j::::::j:::::j
<P>
III)
!::::::::::::::::::::::::::
l 7 _ 26 _ 3  _ 11,2 _ C  _
r::::w:::::w:::::w:::::::w:::::w
l 3 _ 22 _ -1 _ 7,2  _ ''' _
h::::j:::::j:::::j:::::::j:::::j

IV)
!:::::::::::::::::::::::::::
l 4 _ 50 _ 9   _ 10,4 _ D  _
r::::w:::::w::::::w:::::::w:::::w
l 2 _ 25 _ 4,5 _ 5,2  _ ''' _
h::::j:::::j::::::j:::::::j:::::j
<F+>

<132>
<R+>
7. Para cada uma das fileiras de cubos a seguir escreva no caderno uma expresso que represente seu comprimento. Em seguida, simplifique as expresses. 

_`[{figuras adaptadas_`]
 Legenda:
 Cubo azul: aresta igual a *y*.
 Cubo verde: aresta igual a 1 m.
 Cubo rosa: aresta igual a 2 m.
<P>
a) Dois cubos na cor azul e trs cubos na cor verde. 
 b) Trs cubos na cor azul, um cubo verde e dois cubos na cor rosa.
 c) Cinco cubos na cor azul, quatro cubos na cor verde e cinco cubos na cor rosa.
  Se a medida da aresta do cubo azul fosse igual a 4 m, qual seria o comprimento de cada uma das fileiras de cubos?  
<R->

<R+>
8. Simplifique as seguintes expresses algbricas no caderno. 
<R->
 a) 2x+x+x  
 b) 5x+1+x 
 c) 7x-`(16x4`)+5
 d) 5x+3`(2x+1`)-7 
 e) 5`(2-x`)+4
 f) `(12-21`)3+6x+11  

<R+>
9. Para medir temperatura, podemos utilizar unidades de medida como o grau Celsius (}C), o grau Fahrenheit (}F) e o grau Kelvin (K). No Brasil, a mais utilizada  o grau Celsius. 
 Para obtermos a temperatura em graus Celsius correspondente a temperaturas medidas em 
  Fahrenheit ou Kelvin, podemos utilizar as seguintes frmulas. 
<R->

<R+>
C: temperatura medida em Celsius
 F: temperatura medida em 
  Fahrenheit
 K: temperatura medida em Kelvin
<R->

Converso de Fahrenheit para 
  Celsius
 C=?5F-32*9

Converso de Kelvin para 
  Celsius
 C=K-273
<R->

<R+>
De acordo com as frmulas anteriores, resolva no caderno o que se pede em cada item. 
 a) Calcule a temperatura em graus Celsius correspondente a: 
  86}F
  10,4}F
  59}F  
  77}F  
 b) Calcule a temperatura em graus Celsius correspondente a: 
  300 K 
  255 K  
  282 K  
  245 K  
 c) A temperatura 77}F corresponde a quantos Kelvin?  
<R->

<R+>
10. Nas corridas noturnas, os taxistas de certa cidade cobram uma taxa fixa de R$4,55, chamada bandeirada, e mais R$2,73 por quilmetro rodado. 
 a) Escreva, no caderno, uma frmula para representar o custo de uma corrida noturna de txi nessa cidade.  
<R->

<R+>
Ateno: Para escrever a frmula, utilize a letra C para indicar o custo do transporte e a *d* para representar a distncia percorrida. 
<R->

<R+>
b) Uma pessoa utilizou o txi durante a noite, percorrendo uma distncia de 20,5 km. Qual , em reais, o custo dessa corrida?  
<R->

<133>
Monmios 

  O professor de Matemtica do 8 ano pediu aos alunos que escrevessem uma expresso algbrica para cada um dos problemas a seguir. 
<R+>
 1) Um pastel  vendido a R$2,30 em uma lanchonete. Qual  o preo de *x* pastis nessa lanchonete?
 2) O lado maior do retngulo mede o dobro do lado menor. Qual  a rea desse retngulo?
<R->

<F->
      pcccccccccccccccc
      l                _                  
 3a l                _ 
      l                _
      l                _
      v----------------#
             6a
<F+>

<R+>
 3) O carro de Fabiano percorre *n* km, em mdia, com um litro de lcool. Qual  o percurso mdio desse carro ao consumir 42 litros de lcool?
<R->

  Veja as expresses que podemos escrever para cada um desses problemas. 
 1) 2,3x; 
 2) 18~a2; 
 3) 42n

  A essas expresses d-se o nome de monmio. 

Saiba que... 

  Monmio  toda expresso algbrica formada por um nico termo. Esse termo pode ser constitudo por um nmero apenas ou pelo produto de um nmero por uma ou mais variveis, que apresentam so-
<P>
mente expoentes naturais. Observe alguns exemplos. 

<R+>
4x; -8x2; -bc; 12x2y; 17; 10xy3; 4m2; 21~abc
<R->

  Em geral, um monmio  formado por um nmero, chamado coeficien-
te, e por uma ou mais variveis chamadas de parte literal. 

7x:
  7: coeficiente
  x: parte literal
 -7~a3y2:
  -7: coeficiente
  a3y2: parte literal

<134>  
  Monmios que apresentam a mesma parte literal so chamados semelhantes. 

Monmios semelhantes:
 o 2x e 5x;
 o -4xy e #;cxy; 
 o 2,4x2y e -10x2y; 
 o xy3z e 7xy3z

Monmios no semelhantes:
 o 8 e 2x;
 o 4xy e 4xy2; 
 o -3y4z e #?hy2z; 
 o xy4z2 e 7y4z

Atividades 

<R+>
11. Entre as expresses algbricas do quadro, copie em seu caderno apenas as que so monmios. 

_`[{quadro adaptado_`]

13x; -3x2; 12x; 4m-2; 
  a-17; -bc; 10xy3; 9y3-x

12. Copie os monmios em seu caderno. Depois, indique o coeficiente e a parte literal de cada um deles. 
<R->
 a) 16pq
 b) -2a3b2c
 c) mnp
 d) 22x5
 e) 4,2w3z
 f) 23pq
 g) 0,021~c
 h) 100~g8h
 i) 18zax3

<R+>
13. Escreva em seu caderno o monmio: 
 a) de coeficiente 2 e parte literal *x*  
 b) de coeficiente 1 e parte literal *y*  
 c) de coeficiente -1 e parte literal x2 
 d) de coeficiente 3 e parte literal x0 
 e) de coeficiente 22 e parte literal a  
 f) de parte literal y e coeficiente -2 
 g) de coeficiente 20 e parte literal y3 
 h) de coeficiente -3 e parte literal y0 
<R->

<R+>
14. Escreva no caderno uma expresso algbrica que represente a rea e outra que repre-
<P>
  sente o permetro de cada uma das figuras. 
<R->
<F->
a)
         6q   
      pccccccc        
      l       _
      l       _
  13 l       _
      l       _
      l       _
      l       _
      l       _
      v-------#
<F+>

<F->
b)
         4n
     pccccccc
     l       _
 4n l       _
     l       _
     l       _
     v-------#

<F+>
<P>    
<F->
c)
            cccccccccc
                      _           
                      _ 
    6a        6~a  _ b
                      _
                      _
                      _
                      _
    ----------------..#    
           6a

<R+>
Quais dessas figuras tm um monmio que representa sua rea? E quais figuras tm um monmio que representa seu permetro?
<R->

<R+>
15. Separe os monmios a seguir em grupos, de modo que em cada grupo haja somente monmios semelhantes. 
<R->

<R+>
-8xy; 17x2y; 9x2; 4x; -x; -12x2y; 10x2y; 21xy; 3xy; -5x2; 10x
<R->
<P>
<R+>
16. Escreva em seu caderno trs monmios semelhantes ao monmio a seguir. 
<R->

4mn2

<R+>
17. O permetro de um retngulo de comprimento *c* e largura *a*  dado por 2`(c+a`). 
a) Essa expresso  um monmio?  
b)  possvel expressar o permetro de um tringulo equiltero de lado *a* por um monmio? Qual monmio?  
<R->

<135>
Operaes com monmios 

Adio e subtrao de monmios 

  As imagens a seguir representam trs paraleleppedos. 

<F->
<R+>
_`[{figuras adaptadas_`]
Legenda:
A: Representa a altura. 
B: Representa o comprimento.
C: Representa a largura.
<F+>

<F->
I) Paraleleppedo com as seguintes dimenses: A=a; B=4; C=b
II) Paraleleppedo com as seguintes dimenses: A=b; B=3; C=a
III) Paraleleppedo com as seguintes dimenses: A=7; B=a; C=b
<F+>
<R->

  De acordo com as medidas indicadas, qual  o volume dos trs paraleleppedos juntos? 
  Para responder a essa pergunta, vamos determinar inicialmente o volume de cada paraleleppedo. 

<R+>
VI=4ab; VII=3ab; VIII=7ab
<R->

  Agora, vamos adicionar os volumes obtidos. 

VI+VII+VIII=4ab+
  +3ab+7ab
<P>
  Utilizando a propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio, simplificamos a expresso obtida. 

VI+VII+VIII=4ab+
  +3ab+7ab=4+3+7ab=14ab

  O volume total dos trs paraleleppedos  14ab. 

Saiba que... 

  Quando uma expresso algbrica apresenta monmios semelhantes, podemos simplific-la, adicionando ou subtraindo os coeficientes e mantendo a parte literal. Veja alguns exemplos. 

<R+>
<F->
o 10ab+7ab+5ab=10+7+
  +5ab=22ab
o 22xy2-8xy2+xy2=22-
  -8+1xy2=15xy2
<F+>
<R->

<136>
<P>
Atividades 

<R+>
18. Simplifique as expresses no caderno e obtenha monmios. 
<R->
 a) 5ab+2ab-ab 
 b) 12x2y-4x2y-2x2y
 c) 20,5a3b2-7,3a3b2 
 d) x5y-5x5y+6x5y
 e) `(2+3`)yz4-yz4 
 f) #:dx5y5-#,bxy5+
  +2x5y5

<R+>
19. Determine o monmio que representa a rea total das seguintes figuras, sabendo que os monmios indicados representam a rea de suas partes. 
<R->

<R+>
_`[{figuras adaptadas_`]

<F->
a) Trs retngulos com as seguintes reas: 10np; 8np; 9np.
b) Quatro retngulos com as seguintes reas: 8xy; 10xy; 8xy; 10xy.
<P>
c) Trs retngulos com as seguintes reas: 18zw; 90zw; 40zw.
d) Um tringulo com 4ab de rea e um retngulo com 8ab de rea.
e) Dois quadrados com 4uv de rea cada um, um quadrado com 9uv de rea e um tringulo com 3uv de rea.
<F+>
<R->

<R+>
20. Copie as sentenas em seu caderno, substituindo cada lacuna pelo monmio adequado. 
<R->
 a) 11ab2+...=20ab2
 b) -7x3y2+...=3x3y2
 c) 14mn3=9mn3+...
 d) -7abc-...+2abc=-18abc
 e) ...+11p4b-p4b=20p4b
 f) 13x2+yz-...=13x2yz+
  +8x2yz

<R+>
21. Escreva no caderno o que se pede em cada item. 
 a) Uma adio de monmios cujo resultado seja 18xy3. 
 b) Uma subtrao de monmios cujo resultado seja 3a2b4. 
 c) Uma adio de trs parcelas cujo resultado seja 9n5m3. 
<R->

Multiplicao de monmios 

  Antnio comprou um terreno retangular em que a medida do comprimento  o dobro da largura. 
  No esquema a seguir esto indicadas as dimenses do terreno que ele comprou. 
  De acordo com a figura, qual  a rea do terreno que Antnio comprou? 

<F->
   pcccccccccccccc
   l              _                  
 x l              _ 
   l              _
   l              _
   v--------------#
        2x

<137> 
  Para responder  pergunta anterior, precisamos multiplicar o monmio que representa o comprimento do terreno pelo monmio que representa a sua largura. 
  Portanto, a rea do terreno que Antnio comprou  igual a 2x2. 
<F->
A=x'2x
A=2'x'x
A=2x2
<F+>

Saiba que... 

  Em uma multiplicao de monmios, calculamos o produto dos coeficientes e o das partes literais. Veja alguns exemplos. 

<R+>
<F+>
o 2x'3x=2'3'x'x=6.x2=
  =6x2
 o 3xy'4x=3'4'x'x'y=12.x2'
  'y=12x2y
 o 3x2y'5xy3=3'5'x2'x'y'
  'y3=15'x3'y4=15x3y4
 o 8xyz'8x2z=8'8'x'x2'y'z'
  'z=64'x3'y'z2=64x3yz2
<F+>
<R->

  Note que, para simplificar os resultados, utilizamos a propriedade da multiplicao de potncias de mesma base: am.an=a?m+n*, ou 
<P>
seja, conservamos a base e somamos os expoentes. 

Atividades 

<R+>
22. Efetue as multiplicaes no caderno e simplifique. 
<R->
 a) 7x4y.3xy2 
 b) -11x2y3.7xy2z.
  .x5yz2
 c) 2x2.3xy2.`(-xy`)  
 d) 13x5.2x4y2.5y5z
 e) 4xz5.`(-2x2y3`).xz.
  .`(-3x4y8`)  
 f) -5x2z.xy3.`(-2x2y2`).
  .xz
 
<R+>
23. Escreva em seu caderno o monmio que representa a rea de cada figura. 
<R->
<F->
<P>
a)     
      pcccccccccccccccccc
      l_-_                _                  
 5a r::j                _ 
      l                !::w
      l                l_-_
      v----------------v--#
             12b

b) 

          8z      
     pcccccccc
     l_-_      _
     r::j      _
 8z l         _
     l      !::w
     l      l_-_
     v------v--#
<P>
c)
          .  
         l  
         l                      
         l  
         l  
         l 7cd
         l  
      !::l  
      l_-l  
 -----v--l  
    2d

d) 

      !::::::!::
      l      l_-_^
      l      h::w  ^
 3xy l         _    ^
      r::      _::   ^
      l_-_      __-_     ^
      v--#------#--#-------u
         2x         2x
<P>
e)                
               _ccccc 
               _     _ 
               _     _
     !::::::!::w     _
     l      l_-_     _ 5u
     l      h::w     _
 3u l         _     _
     r::      _     _
     l_-_      _     _ 
     v--#------#-----#
        3u      2u
<F+>

<R+>
24. Determine o valor de cada letra indicada em vermelho de maneira que os resultados dos clculos estejam corretos. 
<R->
<R+>
 a) 7x4.3xp=21x6 _`[a letra *p* est em vermelho_`] 
 b) 10x4.6yq.2x=120xry6 _`[as letras *q* e *r* esto em vermelho_`]
 c) -4x4y2.6x.2xsy5= 
  =-48x8yt _`[as letras *s* e *t* esto em vermelho_`] 
 d) 13x4yu.`(-2x4yu`)=
  =-26xvy10 _`[as letras *u* e *v* esto em vermelho_`]
 e) 9xh.mx2=27x8 _`[as letras *h* e *m* esto em vermelho_`]
 f) nxnyb.bxyb=63x10y14 _`[as letras *n* e *b* esto em vermelho_`]
<R->

<R+>
25. A partir da planificao foi construdo um paraleleppedo. De acordo com as indicaes, 
  qual  o volume desse paraleleppedo?  
<R->

<F->
                   pccccccc
              3b l       _
      pcccccccccccpccccccccc
      l       _    l       _  _                      
8ab l       _    l       _  _                      
      l       _    l       _  _
      l       _    l       _  _        
      v-------#----v-------#--#
      r:::::::w    l       _
        2abc     v-------# 
<F+>
<P>
Diviso de monmios 

  Veja a pergunta que Aurlio est fazendo para Paula. 

<R+>
_`[{o menino diz: "Qual  o monmio que, ao ser multiplicado por 2x3, tem como resultado 12x5?" A menina diz: "6x2"_`]
<R->

  Ser que a resposta de Paula est correta? 
Para verificar, vamos utilizar a operao inversa 
da multiplicao, ou seja, a diviso. 
  
 2x3"'''=12x5

12x52x3=6x2
  6=122
  x2=x5x3=x5-3

  O monmio que satisfaz as condies anteriores  6x2. 
  Assim, a resposta de Paula est correta. 
<P>
Saiba que... 

  Numa diviso de monmios, dividimos os coeficientes e as partes literais. Veja um exemplo. 

2x2y2xy=22'x2x'
  'yy=1'x?2-1*'y?1-1*=
  =1'x1'y0=x

  O clculo anterior tambm pode ser representado da seguinte forma:

2x2y2xy=#;b'x2yxy=
  =1'x2-1'y1-1=
  =1'x1'y0=x

  Note que, para simplificar o resultado, utilizamos a propriedade da diviso de potncias 
de mesma base: aman=a?m-n*, ou seja, conservamos a base e subtramos os expoentes. 
<P>
<139>
Atividades 

26. Calcule no caderno. 
 a) 15x45x3 
 b) 12a23a2
 c) 30x5y10x2 
 d) 18a2b32ab 
 e) 20y7z210z  
 f) 32a5b68a2b3 

<R+>
27. De acordo com as medidas indicadas, quantas vezes a rea do retngulo verde  maior que a rea do retngulo azul? 
<R->

<R+>
_`[{figuras adaptadas_`]

 Retngulo verde: 12xy de comprimento e 3x de largura.
 Retngulo azul: 4xy de comprimento e *x* de largura.
<R->

<R+>
28. Responda em seu caderno s questes a seguir. 
 a) Que monmio multiplicado por 3x2 resulta em -9x9? 
 b) Que monmio dividido por 2x2 resulta em 5x?  
 c) Que monmio multiplicado por y4 resulta em 4y8? 
 d) Que monmio dividido por 5y resulta em 6y4?
<R->

<R+>
29. De acordo com as figuras, resolva os itens a seguir. 
<R->

<R+>
_`[{figuras adaptadas_`]
 Legenda:
 : representa o termo desconhecido

 Retngulo medindo ** de comprimento e 6y de altura.
 Tringulo medindo 3x de base e ** de altura.
<R->

Que monmio representa: 
<R+>
 a) O comprimento do retngulo cuja rea  18y5?  
 b) A altura do tringulo cuja rea  9x3? 
<R->

<R+>
30. Copie no caderno e substitua cada lacuna pelo monmio que falta. 
<R->
 a) 6x2...=2x
 b) x5y...=x3y
 c) ...8x2y5=2x7y
 d) ...9x2yz3=5xyz3
 e) ...2xy3z2=4xyz
 f) 12x7y9z...=4x2y3z

<R+>
31. Quantos cubos como o representado a seguir cabem nas caixas de formato cbico?
<R->

<R+>
_`[{cubo representado com 2a de aresta_`]

_`[{figuras adaptadas_`]

a) Caixa cbica com 4a de aresta.
 b) Caixa cbica com 8a de aresta.
<R->

<R+>
Desafio
 32. Nos clculos a seguir, as letras A, B, C e D representam monmios. Sabendo 
que letras iguais representam o mes-
<P>
  mo monmio, determine o monmio que cada letra representa. 
<R->

A+A=8x6
 A.B=12x7
 AC=2x
 CB=D

<140>
Polinmios 

  Juliano separou uma parte de sua chcara para o plantio de algumas hortalias. 
  No esquema esto representadas as dimenses de cada uma das partes. 

<R+>
<F->
_`[{esquema adaptado_`]
Legenda:
A: Representa o plantio de alface.
B: Representa o plantio de couve.
C: Reresenta o plantio de repolho.
<R->
<P>
          x        y
   !::::::::::::::::
   l_-_        __-_    _
   r::j        _::j    _
 x l           _       _::::::
   l    A     _  B   __-_ C _
   l           _       _::j    _ y
   l        !::w    !::w    !::w
   l        l_-_    l_-_    l_-_
   h::::::::h::j::::h::j::::h::j
                           y
<F+>

  De acordo com as indicaes da figura, qual  a expresso algbrica que representa a rea total que Juliano reservou para o plantio de hortalias? 
  Para responder a essa pergunta, vamos determinar a rea de cada parte e em seguida som-las. 

<R+>
_`[{esquema adaptado_`]

Plantio de alface: x'x=x2
 Plantio de couve: x'y=xy
 Plantio de repolho: y'y=y2
<P>
 rea total: plantio de alface mais plantio de couve mais plantio de repolho.
 rea total: x2+xy+y2
<R->

  A expresso que representa a rea total do terreno  chamada polinmio. 

Saiba que... 

  Polinmio  uma adio algbrica de monmios. Cada monmio que o compe  chamado termo do polinmio. Veja alguns exemplos. 

_`[{quadros adaptados_`]

A: x+y
 B: 3x2+2xy
 C: 4x2-x
 D: 5-y
 E: -4xy45+xy4-7
 F: 2x5-7x+12

  De acordo com a quantidade de termos, cada polinmio recebe um nome especial. 
  Os polinmios apresentados nos quadros B e C, por exemplo, so chamados binmios, pois possuem dois termos, e os polinmios dos quadros E e F so chamados trinmios, pois possuem trs termos. 
  J as expresses algbricas com quatro ou mais termos so chamadas polinmios. 
  Os monmios tambm so um tipo de polinmio, porm, com um nico termo. 
<141>
  Quando um polinmio apresenta monmios semelhantes em sua escrita, podemos simplific-lo. Observe como o professor de Matemtica do 8 ano simplificou o polinmio. 

<R+>
_`[{o professor diz: "Primeiramente elimino os parnteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplicao em relao a adio. Em seguida, organizo os monmios semelhantes lado a lado e efetuo as adies e subtraes."_`]
<R->
<F->
1:
3y+2xy+2x2y-y+5x2y
3y+6xy+2x2y-y+5x2y

2:
3y-y+6xy+2x2y+5x2y
3y-y=2y
2x2y+5x2y=7x2y
2y+6xy+7x2y
<F+>

<R+>
Dizemos que o polinmio 2y+6xy+7x2y est na forma reduzida.
<R->

Atividades 

<R+>
33. Copie as expresses a seguir em seu caderno, separando-as em trs grupos. No grupo 1 copie os monmios, no grupo 2, os binmios e no grupo 3, os trinmios. 

 7x3y4+xy5; 3x2y4; 
  3a3b+#=aj~a2; 
  a2b2+4a2; 
  a5b3-5ab2-4b2; 
<P>
  x-3x2; -xy4; 
  6a2b5+3a2-2b; 
  ab3; xy12+x2+#;cxy

34. De acordo com os valores de *x* e *y*, calcule o valor numrico dos polinmios. 
<R->

_`[{quadros adaptados_`]

<F->
A: 2xy-y2 
  x=2; y=7
B: x3+y-2x 
  x=3; y=-4
C: x2y3+x-3y
  x=-5; y=2
D: 2y4+3x-xy3
  x=6; y=1
<F+>

<R+>
35. Simplifique os polinmios a seguir no caderno, deixando-os na forma reduzida. 
 a) 2x3+5x-3x2+x-6+
  +2x2 
 b) ab2+5-a2-3b-ab2+
  +3a2+1
 c) 2`(xy+3`)-x2+4-xy+5x2
 d) 3a+2ab-`(a+ab`)-5+3ab  
<P>
 e) 5`(x+xy2`)+3y-`(3x-2xy2`)+
  +y  
 f) 7x5y+2`(y-x5y`)+7y-
  -`(-3x5y-y`) 
<R->

<R+>
36. Para cada figura, escreva no caderno um polinmio na forma reduzida que represente o seu permetro. 

_`[{figuras adaptadas_`]

a) Retngulo com lados medindo 2~a+b, 5~a+b, 2~b, a+3~b.
 b) Hexgono com lados medindo 6, x+1, x, x+4, 3x, 2x+5.
 c) Tringulo com lados medindo 2~a, 2~a, 2~a.
 d) Octgono com lados medindo y+1, x-1, 2x-2y, 3y-2, 2y-1, xy, 3x-3y, 4y+2.
<R->

<142>
<R+>
 37. Carlos foi o jogador que mais fez pontos na partida de basquete da escola. Ele acertou *x* cestas de 1 ponto, *y* ces-
<P>
  tas de 2 pontos e *z* cestas de 3 pontos. 
 a) Escreva em seu caderno o polinmio que representa o total 
  de pontos que Carlos fez na partida. 
 b) Sabendo que Carlos fez 15 pontos nessa partida, d valores para *x*, *y* e *z* e determine trs possibilidades diferentes de cestas que ele pode ter feito nessa partida.

_`[{para as atividades de 38 a 42, pea orientao ao professor_`]

38. Para fazer uma pipa, Bruno cortou uma vareta de bambu em 3 partes e construiu a armao representada a seguir. 
<R->
<P>
_`[{figura adaptada_`]

<F->
  p    
  l      
  l       
  l    
y l    
  l    
  l 
  l    
  l    
  l    
  v    
    r:::::w
       x
<F+>

<R+>
 a) Qual o polinmio que expressa o comprimento da vareta de bambu utilizada por Bruno?  
 b) De acordo com a armao, se x=30 cm e y=50 cm, qual o comprimento da vareta de bambu?

39. Para fazer um trabalho escolar, Ana recortou dois pedaos de uma cartolina. 
<P>
 De acordo com a imagem, qual  o polinmio que representa a rea do pedao de cartolina que sobrou? 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<F->
Figura 1: antes do recorte

   pccccccccccccccpccc
   l   _           l   _ 
   l   _           l   _                     
 x r:::j           l   _                      
   l               v---#
   l                   _ 
   l                   _      
   v-------------------#
             y
<P>
Figura 2: aps o recorte

     _ccccccccccccl
     _ a        b l 
   a _            l                       
 !:::j            l a                       
 l                v---
 l                   _ 
 l                   _       
 v-------------------#
<F+>

<R+>
40. A figura a seguir  formada por dois tringulos equilteros e um tringulo issceles. 

_`[{figuras adaptadas_`]

Tringulo equiltero com os lados medindo 6x.
 Tringulo issceles com um dos lados congruentes medindo 10x.
 Tringulo equiltero com medida igual aos lados congruentes do tringulo issceles.
<P>
 a) Qual  o monmio que representa o permetro de cada tringulo?  
 b) Qual  o monmio que representa o permetro da figura?  
 c) Supondo que x=4 m, calcule o permetro da figura. 
<R->
 
<R+>
41. Copie as expresses dos quadros A, B, C e D substituindo cada figura pelo polinmio correspondente. Depois, simplifique o polinmio.
<R->

<R+>
_`[{quadros adaptados_`]
<R->
 Legenda:
 : Representa um tringulo
 o: Representa um crculo 
 y: Representa um quadrado
 wr: Representa pentgono  

=x+4
 o=x2-y
 y=-3x+4y+12
 wr=2x2+xy-15
 A: +o
 B: 20-wr+o
<P>
 C: 2y-o+3+2
 D: 3o-2y+wr-5
<F+>

<143> 
<R+>
42. Nas imagens a seguir esto representados alguns paraleleppedos. Neles, as medidas indicadas esto em metros. 

_`[{imagens adaptadas_`]
 Legenda:
 A: Altura 
 C: Comprimento 
 L: largura 
 az: Paraleleppedo azul 
 vd: Paraleleppedo verde 
 la: Paralelepedo laranja 

Imagem 1
  az: A=y; L=8; C=x
 Imagem 2
  vd: A=712y; L=2x; C=2x
 Imagem 3
  la: A=98xy; L=y; C=43xy

 Foram montadas algumas pilhas utilizando alguns desses paraleleppedos: 
<R->
<P>
<F+>
_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
I) Pilha composta por um az, um la e dois vd.
 II) Pilha composta por dois az, um vd e um la.
 III) Pilha composta por um az, um vd e dois la.
<R->

<R+>
a) Qual  o polinmio que representa o volume total de cada uma das pilhas montadas? 
 b) Supondo que x=0,75 m e y=2,4 m, calcule o volume total de cada uma das pilhas.

Desafio
 43. No quadro a seguir esto indicadas uma sequncia e a regra utilizada para obt-la. 
<R->

_`[{sequncia adaptada_`]

<R+>
3, 4, 14, 36 ...

 O 1 e 2 termos da sequncia so dois nmeros naturais diferentes. A 
partir do 3 termo, cada nmero da sequncia  igual ao dobro da soma 
dos dois anteriores.
 
 3, 4, 23+4, 223+4+4
<R->

<R+>
Substituindo os dois primeiros termos da sequncia por *x* e *y*, podemos escrever o polinmio que representa o 3 termo da sequncia.

x, y, 2x+y, ..., ...
 2x+y=2x+2y

 a) De acordo com a regra, escreva na forma reduzida os polinmios que representam o 4 e o 5 termos 
dessa sequncia. 4x+6y; 12x+16y 
 b) Se x=1 e y=2, quais sero os 5 primeiros termos dessa sequncia?  
 c) Escolha um nmero natural para *x* e outro para *y* e, utilizando os polinmios obtidos anteriormente, escreva 
os cinco primeiros termos dessa sequncia. 
<R->

<144>
Multiplicao de polinmios 

  Rosana recortou alguns pedaos de papelo em forma de retngulo e montou uma caixa. 

_`[{figuras adaptadas_`]

<F->
Caixa planificada:

          pccccccc
          l       _
          l       _
          l       _     
   pccccccpccccccccccccc
 x l      l       _      _                           
   h::::::r:::::::w::::::j                             
          l       _  x+4                                
          l       _                                   
          v-------#
             3x
<F+>
<P>
Caixa montada:

Altura: x+4
 Comprimento: 3x
 Largura: x
<F+>

  Qual  o polinmio que representa o volume da caixa que Rosana montou?
  Podemos respnder a essa pergunta multiplicando a medida do comprimento, da largura e da altura da caixa.
  Nesse passo, vamos eliminar os parnteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio.

<F->
3x'x'x+4
3x2'x+4
  3x2'x=3x3
  3x2'4=12x2
<F+>

  O polinmio que representa o volume da caixa  3x3+12x2. 
  Agora, observe as indicaes no retngulo a seguir. Podemos obter a rea total deste retngulo de duas maneiras diferentes. 

<F->
      6         x
 r::::::::::::r:::::w
 pcccccccccccccccccc 
 l                  _ _ 4                                                 
 l                  _ _ 
 l                  _ _
 l                  _ 
 l                  _ _ y
 v------------------# #
<F+>

<R+>
 1 maneira: Dividimos o retngulo em quatro partes. Em seguida, obtemos a rea de cada parte e depois as adicionamos. 
<R->
<P>
<F->
      6         x
 r::::::::::::r:::::w
 pccccccccccccpccccc 
 l            l     _ _ 4                                                 
 l   24      l 4x _ _ 
 l            l     _ _
 pccccccccccccpccccc 
 l   6y      l xy  _ _ y
 v------------v-----# #
<F+>

4x+6y+xy+24
      
<R+>
2 maneira: Multiplicamos a medida dos lados do retngulo. Depois, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio. 
<R->
<P>
<F->
         6x
 r::::::::::::::::::w
      6         x
 r::::::::::::r:::::w
 pccccccccccccpccccc    
 l            l     _ _4 _                           
 l   24      l 4x _ _   _  
 l            l     _ _   _ 4+y
 pccccccccccccpccccc    _
 l   6y      l xy  _ _ y _
 v------------v-----# #   #

6+x'4+y=
  =64+y+x4+y=
  =24+6y+4x+xy=
  =4x+6y+xy+24
<F+>
 
<145>
Atividades 

<R+>
44. Efetue os clculos necessrios e determine o polinmio que representa o volume dos paraleleppedos. 
 Supondo que x=2 m, qual  o volume de cada paraleleppedo?
<R->
<P>
_`[{figuras adaptadas_`]
 Legenda:
 A: Representa a altura.
 C: Representa comprimento. 
 L: Representa largura. 

a) A=4x; C=x+8; L=4x
 b) A=x+14; C=6x; L=2x
 c) A=3x; C=2x+10; L=2x
 d) A=x+7; C=6x; L=5x

45. Efetue os clculos. 
 a) 7x.`(x+5`)  
 b) x2.`(x-7`)  
 c) 11x2.`(2x+1`) 
 d) 6x.`(x2+3`)
 e) 5x2.`(x2-2x`)
 f) 4x3.`(2x2+10`)  

<R+>
46. Escreva em seu caderno o polinmio que representa a rea dos retngulos a seguir. 
<R->
<P>
<F->
a)
     x     4
 r::::::r:::w
 !:::::::::: 
 l          _ _ x 
 l          _ _
 l          _ #
 l          _ _
 l          _ _ 7
 l          _ _
 l          _ _
 l          _ _
 h::::::::::j j
<P>
b) 
    y     1
 r:::::::r::w
 !:::::::::: 
 l          _ _ 
 l          _ _
 l          _ _ y
 l          _ _
 l          _ w
 l          _ _
 l          _ _ 5
 l          _ _
 l          _ _
 h::::::::::j j
<P>
c) 
    z       8
 r::::r::::::::::::w
 !::::::::::::::::: 
 l                 _ _ 2 
 l                 _ #
 l                 _ _
 l                 _ _
 l                 _ _ 2z
 l                 _ _
 l                 _ _
 l                 _ _
 h:::::::::::::::::j j
<P>
d) 

    6    w
 r::::::r:::w
 !:::::::::: 
 l          _ _ 
 l          _ _
 l          _ _ 3w
 l          _ _
 l          _ _
 l          _ _
 l          _  
 l          _ _ 2
 h::::::::::j j
<F+>

<R+>
 47. Copie no caderno e substitua o smbolo ** pelo termo que est faltando. 
<R->

 A: 4x+4y-1=4xy-4x+-4
 B: x2-yy-10=x2y-10x2-
  -y2+
 C: -x+52y+1=-x+10y+
 D: x+27y-x+3=-x2+3x+
  +-2x+6
 E: 3x+2yy+x+4=3xy++
  +12x+2y2+2xy+8y 
 F: x-yx+y-2=x2+xy-2x--
  -y2+2y

<R+>
48. (Unesp-SP) Considere um pedao de cartolina retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. 
Retirando-se 4 quadrados iguais de lados *x* cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha 
pontilhada conforme mostra a figura, obtm-se uma pequena caixa retangular sem tampa. 
 Copie em seu caderno o polinmio na varivel *x*, que representa o volume, em cm3, desta caixa.  
<R->
<P>
_`[{figura adaptada_`]

<F->   
                20 cm
         r::::::::::::::::::::w
       !    !::::::::::::::
       l    l              _ x cm
       l !::r~~~~~~~~~~~~~~w::
       l l  a              ~  _ 
10 cm l l  a              ~  _
       l l  a              ~  _
       l l  a              ~  _
       l h::r~~~~~~~~~~~~~~w::j
       l    l              _  
       h    h::::::::::::::j 
<F+>

 a) 4x3-60x2+200x 
 b) 4x2-60x+200 
 c) 4x3-60x2+200 
 d) x3-30x2+200x 
 e) x3-15x2+50x

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
<R+>
49. Entre os polinmios a seguir, qual  o nico que no representa a rea do retngulo? 
<R->

_`[{figura adaptada_`]

<F->
       y    x       x
     r:::r:::::::r::::::w       
    :!:::!:::::::!:::::::
 1  l   l       l      _ y                                                 
    -v---v-------v------#- 
 1  l   l       l      _ y 
    -v---v-------v------#- 
     l   l       l      _
 2y l   l       l      _ 2
     l   l       l      _ 
     l   l       l      _  
    :h:::h:::::::h::::::j: 
<F+>

A: 8x+2y2+2y
 B: 4xy+8x+2y2
 C: 8xy+4y2
 D: 4xy+4x+4y2

Desafio
<R+>
 50. Escreva em seu caderno um produto de um monmio por um polinmio cujo resultado seja: 
<R->
 a) 3xy+6y  
 b) -xy-2y  
 c) x2y+2xy  

<R+>
Ateno: Em cada produto o polinmio : x+2.
<R->

Diviso de polinmio por monmio 

  Assim como dividimos monmio por monmio, dividimos polinmio por monmio. 
Veja, por exemplo, como podemos simplificar a expresso `(8x3-4x2`)2x. 

<F->
8x3-4x22x=8x32x-
  -4x22x
8x32x=4x2
4x22x=2x
8x32x-4x22x=
  =4x2-2x
<F+>

  Note que, simplificando a expresso `(8x3-4x2`)2x, obtemos o polinmio 4x2-2x. 
<P>
  Nesse caso, consideramos o denominador diferente de zero, pois no existe diviso por zero. 

Saiba que... 

  Na diviso de um polinmio por um monmio no-nulo, dividimos cada termo do polinmio pelo monmio. Veja um exemplo. 

<F->
12x3-4x2+8x4x
12x34x-4x24x+8x4x
12x34x=3x2
-4x24x=-x
8x4x=2
12x34x-4x24x+8x4x=
  =3x2-x+2
<F+>

  O clculo anterior tambm pode ser representado da seguinte forma. 

<F->
?12x3-4x2+8x*4x=
  =12x34x-4x24x+8x4x=
  =3x2-x+2
<F+>

<147>
<P>
Atividades 

<R+>
51. Simplifique as expresses no caderno. 
 a) 5x4+15x7-10x`)5x  
 b) ?16y5-20y7-12y3*
  4y3 
 c) 18a5-6a10-3a2+
  +9a43a2
 d) ?20b3-12b8+10b5-
  -8b4*6b2 
<R->

<R+>
52. Nos itens a seguir, cada figura corresponde a um dos polinmios indicados nas fichas. Efetue os clculos necessrios e descubra qual  o polinmio que cada figura representa. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]
 Legenda:
 : Representa Tringulo 
 o: Representa Crculo
 y: Representa Quadrado 
 wr: Representa Pentgono 
 y: Representa Estrela  
 rw: Representa Hexgono 

a) o=2x4-5
 b) ywr=x2+4x
 c) rwy=3x+5

<R+>
_`[{fichas: 4x5-10x; 5x; 2x; x; 15x2+25x; x3+4x2_`]
<R->

<R+>
Ateno: Nas divises indicadas, os divisores so monmios. 
<R->

<R+>
53. Nos retngulos a seguir esto indicadas a sua rea A e a medida de um de seus lados. Efetue os clculos e determine a medida do outro lado. 

Ateno: Nesta atividade, utilize a operao inversa da multiplicao, ou seja, a diviso.

_`[{retngulos adaptados_`]
 Legenda:
 : Representa a medida do lado a ser descoberto.

a) rea: 2x2+3x; lados: *x* e **.
<P>
 b) rea: 6y2-6y; lados 3y e **.
 c) rea: 6a2b2- -10a2b; lados: 2ab e **.
 d) rea: 12z2+4zw; lados: 4z e **.
<R->
 
<R+>
54. Copie no caderno e substitua o smbolo ** pelo polinmio que falta. 
<R->
 a) `(4x3+6x2`)2x= 
 b) 3x.=9x4-3x3 
 c) 10x6=5x 
 d) 7x2=2x+7  

<R+>
55. Observe os paraleleppedos a seguir e responda s questes em seu caderno. 

_`[{figuras adaptadas_`]
 Legenda:
 : Representa a medida do lado a ser determinado.
 A: Representa altura
 C: Representa comprimento
 L: Representa largura

I) Dimenses do paraleleppedo: C=3x; A=; L=2x
 II) Dimenses do paraleleppedo: C=2x+4; A=2x; L=3x

 a) Sabendo que o volume do paraleleppedo I  18x3, qual  
  o polinmio que representa sua altura? 
 b) De acordo com as medidas indicadas no paraleleppedo II e sabendo que x=5 cm, calcule seu volume.
 
56. Escreva, em seu caderno, uma diviso de polinmio por monmio cujo resultado seja 5x2+y. 
 Troque com um colega a diviso que voc escreveu e verifique se o que ele fez est correto. 
<R->

<148>
Produtos notveis 

  Estudamos anteriormente o produto de polinmios. Agora, vamos estudar produtos 
entre polinmios que apresentam algumas regularida-
<P>
des. Esses produtos so conhecidos como produtos notveis. 

Quadrado da soma de dois termos 

  Um dos produtos notveis  o quadrado da soma de dois termos. Podemos indic-lo da seguinte forma. 

a+ba+b ou a+b2
  a: 1 termo 
  b: 2 termo

  Utilizando a propriedade distributiva da multiplicao, temos: 

a+ba+b=a2+ab+ab+b2=
  =a2+2ab+b2
  ab=ba

  A expresso a2+2ab+b2  chamada trinmio quadrado perfeito. 
  Tambm podemos desenvolver a expresso `(a+b`)2 geometricamente. Para isso, vamos calcular 
<P>
a rea de um quadrado cuja medida de seu lado  a+b. 

_`[{figuras adaptadas_`]

<F->
        a+b
 r::::::::::::::w
    a       b
 !::::::::h::::::
 l              _
 l              _ b
 l              _
 l              _:   
 l              _
 l              _
 l              _ a
 l              _
 l              _
 h::::::::::::::j:
<P>             
<F+>
A=a+ba+b=a+b2

<F->
    a        b
 r::::::::r:::::w
 !::::::::!::::::
 l        l     _
 l  ab    lb2 _ b
 l        l     _
 r::::::::r:::::w:   
 l        l     _
 l        l     _
 l  a2  l ab  _ a
 l        l     _
 l        l     _
 h::::::::h:::::j:
             
A=a2+ab+ab+b2
A=a2+2~ab+b2
<F->

  Note que, tanto no desenvolvimento algbrico quanto no geom- trico, obtivemos a mesma expresso, ou seja, o mesmo trinmio quadrado perfeito. 
  Dividimos o quadrado em quatro partes. Adicionando a rea das 
<P>
quatro partes, obtemos a seguinte expresso.

a+b2=a+ba+b=a2+2ab+
  +b2
 
Saiba que... 

  O quadrado da soma de dois termos pode ser obtido calculando: 

<R+>
O quadrado do 1 termo, mais duas vezes o 1 pelo 2 termo, mais o quadrado do 2 termo.
<R->

  Veja alguns exemplos. 

<F->
<R+>
3a+2b2=3a2+
  +23a2b+2b2=
  =9a2+12ab+4b2

a2+#;c~b2=a22+ +2a2#;c~b+#;c~b2= =a4+#c~a2b+#i~b2
<R->
<F+>
<149>
<P>
Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades de 57 a 59, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
57. Utilizando figuras, desenvolva os seguintes clculos no caderno. 
 a) `(2a+b`)2
 b) `(a+7b`)2
 c) `(5a+3b`)2

58. Associe os quadrados aos trinmios que representam as suas reas. Para isso, escreva 
  a letra e o smbolo romano correspondentes. 
<R->
<P>
_`[{figuras adaptadas_`]

a) 
<F->
    2a     b
 r:::::::::r:::w
 !:::::::::!::::
 l         l   _
 l         l   _ b
 r:::::::::r:::w:
 l         l   _   
 l         l   _
 l         l   _
 l         l   _ 2a
 l         l   _
 l         l   _
 h:::::::::h:::j:
<F+>
<P>
b)
<F->
     a    6b
 r:::::::w::::w
 !::::::::::::
 l       _    _
 l       _    _ 
 l       _    _ a
 l       _    _   
 l       _    _
 r:::::::w::::w:
 l       _    _ 
 l       _    _ 6b
 l       _    _
 h:::::::j::::j:
<F+>
<P>
c)
<F->

     a      2b
 r::::::::::r::w
 !::::::::::!:::
 l          l  _ 2b
 v----------v--#- 
 l          l  _
 l          l  _   
 l          l  _
 l          l  _
 l          l  _ a
 l          l  _
 l          l  _
 h::::::::::h::j:

<F+>
I) a2+12~ab+36~b2
 II) a2+4~ab+4~b2
 III) 4~a2+4~ab+b2

<R+>
 59. Desenhe em seu caderno um quadrado cuja medida do seu lado seja 3x+2. Em seguida, escreva o polinmio que representa a rea do quadrado que voc desenhou.
<R->
<P>
<R+> 
 60. Copie em seu caderno substituindo cada lacuna pelo termo adequado. 
 a) `(x+5`)2=x2+10x+'''
 b) `(x+4`)2=x2+'''+16
 c) `(3x+6`)2='''+36x+36
 d) `(x+3`)2='''+6x+9
 e) `(2x+5`)2=4x2+'''+25
 f) `(2x+3`)2='''+12x+9

 61. No caderno, escreva cada produto notvel na forma de trinmio quadrado perfeito. 
 a) `(x+1`)2='''
 b) `(9x+4`)2='''
 c) `(x+2`)2='''
 d) `(3x+7`)2='''
 e) `(6x+#:d`)2='''
 f) `(#,bx+2`)2='''
<R->

<R+>
Quadrado da diferena de dois termos 
<R->

  Outro produto notvel que aparece com frequncia  o quadrado da diferena de dois termos. Podemos indic-lo por: 

a-ba-b ou a-b2
  a: 1 termo
  b: 2 termo

  Aplicando a propriedade distributiva da multiplicao em relao  subtrao, temos: 

a-ba-b=a2-ab-ab+b2=
  =a2-2~ab+b2

  A expresso a2-2ab+b2 tambm  um trinmio quadrado perfeito. 
<150>
  Podemos desenvolver a expresso `(a-b`)2 geometricamente calculando a rea de um quadrado cujo lado mede `(a-b`). 

<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Legenda: 
 : Representa o termo desconhecido
<F->
I: Representa quadrado verde
II: Representa retngulo vermelho
<P>
III: Representa retngulo vermelho
IV: Representa quadrado azul
<R->
<F+>

<F->
            a
 r::::::::::::::::::::w
     a-b        b
 r:::::::::::w::::::::w
 !::::::::::::::::::::   
 l           _        _    _
 l           _        _    _
 l   I      _  II  _ a-b_
 l  A=     _ ba-b _    _
 l           _        _    _
 l           _        _    _ a
 l           _        _    _
 r:::::::::::w::::::::w:   _
 l           _        _    _
 l   III   _  IV  _ b  _
 l  ba-b   _  b2  _    _
 l           _        _    _
 h:::::::::::j::::::::j:   j

<F+>
  Para determinar a rea do quadrado com lado medindo a-b (quadrado verde), determinamos a rea do quadrado maior e subtramos a rea dos dois retngulos vermelhos e a rea do quadrado azul. 

<F->
_`[{esquema adaptado_`]

<R+>
a2-ba-b-ba-b-b2
  a2: rea do quadrado maior
  ba-b e ba-b: rea dos dois tringulos vermelhos
  b2: rea do quadrado azul
a2-ab+b2-ab+b2-b2=
  =a2-2~ab+b2
<R->
<F+>

  Dessa forma, `(a-b`)2=
=`(a-b`)`(a-b`)=a2-2ab+b2. 

Saiba que... 

  O quadrado da diferena de dois termos pode ser obtido calculando: 
<P>
<R+>
O quadrado do 1 termo, menos duas vezes o 1 pelo 2 termo, mais o quadrado do 2 termo.
<R->

  Veja alguns exemplos. 

2a-5b2=2a2-
  -22a5b+5b2=
  =4a2-20ab+25b2
 
<R+>
2a-#:e~b32=2a2-
  -22a#:e~b3+
  +#:e~b32=
  =4a2-#,;e~ab3+#*be~b6
<R->

Atividades 

<R+>
62. Copie os itens a seguir em seu caderno, substituindo cada lacuna pelo valor adequado. 
 a) `(2a-b`)2=4'''-4ab+b2
 b) `(a-3b`)2='''-'''ab+9b2
 c) `(3a-b`)2='''-'''+'''
<R->

<151>
<R+>
63. Para cada item, escreva o trinmio quadrado perfeito 
<P>
  utilizando a regra do quadrado da diferena de dois termos. 
<R->
 a) `(a-3b`)2
 b) `(4a-5b`)2
 c) `(3a-4b`)2
 d) `(7a-b`)2
 e) `(a2-2b`)2
 f) `(5a3-b2`)2

<R+>
64. Escreva, no caderno, as expresses de maneira simplificada. 
<R->
 a) `(2a+b`)2+`(a-3b`)2
 b) 3x`(2-3y`)2+`(4x-5y`)2
 c) `(a2-8b`)2-`(a2-
  -3b5`)2
 d) `(#,bx+3y2+#=bx2-
  -#;cy2 

<R+>
65. Associe cada quadrado azul ao trinmio quadrado perfeito que representa sua rea. Para isso, escreva a letra e o smbolo romano correspondentes. 
<R->
<P> 
_`[{quadrado adaptado_`]
 Legenda: 
 az: Representa o quadrado azul.
 
<F->
I)
     2x      y
 r::::::::::r::w
 !::::::::::!:::
 l          laz_ y
 v----------v--#- 
 l          l  _
 l az   az  l  _   
 l          l  _
 l          l  _ 2x
 l          l  _ 
 l          l  _
 l          l  _
 h::::::::::h::j:
<P>
II)
<F+>
<F->
       2x
 r:::::::::::::w
             y
 !::::::::::!:::  
 l          l  _ y _
 v----------v--#-  _
 l          l  _   _
 l          l  _   _ 
 l    az    l  _   _ 2x
 l          l  _   _
 l          l  _   _
 l          l  _   _
 l          l  _   _ 
 h::::::::::h::j:  j
<F+>
<P>
III)
<F->
         x
    r::::::::::::w
            2y
        _::::::::w
  ! !:::::::::::
  l l   _        _
  l laz _        _ 
  l r:::w::::::::w 
  l l   _        _ _   
x l l   _        _ _
  l l   _        _ _ 2y
  l l   _        _ _ 
  l l   _        _ _ 
  l l   _        _ _
  h h:::j::::::::j j
<F+>

A: x2-4xy+4y2
 B: 4x2+4xy+y2
 C: 4x2-4xy+y2
 
<R+>
66. A figura a seguir  formada por dois quadrados e dois retngulos. Nela, os retngulos tm medidas iguais. 
<R->
<P>
_`[{figura adaptada_`]
 Legenda: 
 rs: Representa a cor rosa. 
 am: Representa a cor amarelo. 
 vd: Representa a cor verde. 
 az: Representa a cor azul. 

<F->
      !::::::::::: 
      l    _       _ _
      l rs _  am   _ _ 
      l    _       _ _
      l    _       _ _   
      l    _       _ _ y
2x ! r::::w:::::::w _ 
    l l    _       _ _
    l l vd _  az   _ _ 
    l l    _       _ _
    h h::::j:::::::j j
<F+>

<R+>
 a) Qual  o trinmio que representa a rea do quadrado amarelo? Esse trinmio  um trinmio quadrado perfeito? 
 b) Se x=2 m e y=10 m, qual ser a rea do: 
 retngulo azul? 
 quadrado verde?  
 quadrado amarelo? 
<R->
<R+>
Produto da soma pela diferena de dois termos 
<R->

  A expresso `(a+b`)`(a-b`) tambm  um produto notvel. Ele  conhecido como o produto da soma pela diferena de dois termos. 
  Podemos desenvolver essa 
 expresso utilizando a propriedade distributiva: 

<R+>
a+ba-b=a2-ab+ab-
  -b2=a2-b2
<R->

  A expresso a2-b2  uma diferena de quadrados. 
<152>
  Tambm podemos desenvolver a expresso `(a+b`)`(a-b`) geometricamente. Nesse caso, vamos calcular a rea de um retngulo cujos lados medem `(a+b`) e `(a-b`). 
  Para obter a rea do retngulo amarelo, cujos lados medem `(a+b`) e `(a-b`), determinamos a rea total da figura e subtramos a rea do retngulo azul. 

<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Legenda:
 I) e II) Representam o retngulo amarelo.
 III) Representa o retngulo azul.  
<R->
<F->

           a+b
    r:::::::::::::::::::w
         a          b
  ! r:::::::::::::w:::::w
  l !:::::::::::::::::: 
  l l             _     _ _
  l l             _     _ _ 
  l l    I       _II _ _ a-b
a l l             _     _ _   
  l l             _     _ _
  l r:::::::::::::j:::::w w
  l l                   _ _
  l l      III        _ _ b
  l l                   _ _
  h h:::::::::::::::::::j j
<F+>

<F->
<R+>
aa+b-ba+b=aa+b: rea total da figura.
<P>
ba+b: rea do retngulo azul.
a2+ab-ab-b2=a2-b2
<R->
<F+>

  Portanto, `(a+b`)`(a-b`)=a2-b2. 

Saiba que... 

  O produto da soma pela diferena de dois termos pode ser obtido calculando: 
  
  O quadrado do 1 termo menos o quadrado do 2 termo. 

  Veja alguns exemplos. 
 `(2x+3y`)`(2x-3y`)=4x2-
  -9y2 
 `(x2+y`)`(x2-y`)=x4-y2 
 -5x3+32y-5x3-
  -32y=25x6-94y2 

Atividades
 
<R+>
67. Copie os itens a seguir em seu caderno, substituindo cada lacuna pelo valor adequado. 
<P>
 a) `(x+y`)`(x-y`)='''-y2
 b) `(2a+b`)`(2a-b`)='''a2-b2
 c) `(3x-4y`)`(3x+4y`)=9x2-'''
<R->

<R+>
68. Utilizando a regra da diferena de quadrados, simplifique as expresses a seguir no caderno. 
<R->
<R+>
 a) a+4ba-4b
 b) 5a2-b5a2+b
 c) -a+2b3-a-2b3
 d) 3a2-b53a2+b5
 e) 8x10+y78x10-y7
 f) #e~a+#,c~b4#e~a-
  -#,c~b4
<R->
 
<R+>
69. Escreva, em seu caderno, as expresses de maneira simplificada. 
<R->
 a) a-2ba+2b+3b2
 b) x+3y2x-3y2-2xx-4
 c) a3+2b2+-5a3+
  +b4-5a3-b4
 d) -2x+7y2-2x-
  -7y2-x-2y2
 e) a+b2a+b2+-a-ba-b
 f) #?hx-y2+x+#;cyx-#;cy
<P>
 Desafio
<R+>
 70. De um pedao de cartolina em forma de quadrado, Jorge recortou um quadrado menor. 

<F->
  ! !::::::::::::::
  l l              _
  l l              _
  l l              _
  l l     !,,,,,,,,w  
a l l     ,        _  _
  l l     ,        _  _
  l l     ,        _  _ b
  l l     ,        _  _
  l l     ,        _  _
  h h:::::h::::::::j: j
    r::::::::::::::w
           a
<F+>

 a) Qual  o polinmio que representa a rea da cartolina que sobrou?  
<P>
 b) Sabendo que a+b=8 cm e a-b=2 cm, qual  a rea do pedao de cartolina que sobrou? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<153>
Fatorao de polinmios 

Colocando um fator comum em 
  evidncia 

  Em alguns casos  necessrio escrever um polinmio na forma de um produto de polinmios. Nesses casos, estamos realizando uma fatorao. 
  Veja como podemos fatorar o polinmio 5x2+15x. 
  Inicialmente, decompomos cada termo do polinmio em um produto de fatores. 

5x2+15x=5x.x+3.5x 

  Note que 5x  o fator comum aos dois termos do polinmio. 
  Assim, podemos escrever esse fator multiplicando os outros fatores que no so comuns. Nesse caso, dizemos que 5x foi colocado em evidncia. 

5x.x+3.5x=5x`(x+3`) 

  Portanto, a forma fatorada de 5x2+15x  5x`(x+3`). 
  Podemos verificar se a fatorao est correta utilizando a propriedade distributiva da multiplicao e observando se o resultado obtido  o mesmo polinmio inicial. 

5x`(x+3`)=5x2+15x 

Fatorao por agrupamento 

  Outra maneira de fatorar um polinmio  utilizando a fatorao por agrupamento. 
  Podemos fatorar o polinmio 2x+xy+2a+ay utilizando essa tcnica: 
  O polinmio no apresenta fatores comuns a todos os termos. Por isso, vamos agrupar os termos que possuem fatores comuns e depois fator-los. 

2x+xy+2a+ay=x`(2+y`)+a`(2+y`) 

  Como `(2+y`)  o fator comum da expresso, vamos coloc-lo em evidncia. 

2x+xy+2a+ay=x`(2+y`)+a`(2+y`)=
  =`(2+y`)`(x+a`)=`(2+y`)`(x+a`)

  Portanto, a forma fatorada de 2x+xy+2a+ay  `(2+y`)`(x+a`). 

<R+>
 Fatorao de um trinmio quadrado perfeito 
<R->

  Podemos fatorar tambm um trinmio quadrado perfeito. 
  Vimos anteriormente que a2+2ab+b2=`(a+b`)2. 
  Nesse caso, `(a+b`)2  a forma fatorada do trinmio a2+2ab+ 
 +b2. 
<154>
  Vimos tambm que o trinmio a2-2ab+b2=`(a-b`)2. 
  Nesse caso, `(a-b`)2  a forma fatorada do trinmio a2-2ab+ 
 +b2. 
  Veja alguns exemplos de fatorao de um trinmio quadrado perfeito: 
 x2+2xy+y2=`(x+y`)2 
 9a2-24ab+16b2=
  =`(3a-4b`)2 
 4m2n2+16mn+16=
  =`(2mn+4`)2 

<R+>
Fatorao do produto da soma pela diferena de dois termos 
<R->

  Anteriormente, vimos que o polinmio a2-b2  um produto da soma pela diferena de dois termos. 
  Portanto, a2-b2=`(a+b`)`(a-b`). 
  Nesse caso, `(a+b`)`(a-b`)  a forma fatorada de a2-b2. 
  Veja alguns exemplos de fatorao da diferena de quadrados. 
 x2-25=`(x+5`)`(x-5`) 
 #,i-m2n2=#,c+mn#,c-mn
 `(z+4`)2-36=`(z+4+6`)`(z+4-
  -6`)=`(z+10`)`(z-2`) 

<R+>
Outros casos envolvendo fatorao de polinmios 
<R->

  Em alguns casos,  preciso fatorar duas vezes o mesmo polinmio. 
  Veja, por exemplo, a fatorao dos polinmios 4x2-16 e 3x3+6x2y+3xy2. 

<F->
o 4x2-16=4x2-4=
  =4x+2x-2
  x2-4: diferena de quadrados
o 3x3+6x2y+3xy2=
  =3xx2+2xy+y2=
  =3xx+yx+y=3xx+y2
  x2+2xy+y2: trinmio 
  quadrado perfeito
<F+>

Atividades 

<R+>
71. Associe os polinmios  sua forma fatorada, escrevendo a 
<P>
  letra e o smbolo romano correspondentes. 
<R->
 A: 12x2+8x
 B: 8x2+12x
 C: 12x2-8
 D: 8x2+12
 E: 12x2-8x

I) 4x2x+3 
 II) 4x3x-2 
 III) 42x2+3 
 IV) 4x3x+2 
 V) 43x2-2

<R+>
72. Em cada item, determine o fator que  comum a todos os termos do polinmio. Em seguida, fatore os polinmios no caderno. 
<R->
 a) 5x-10 
 b) 2b2-4b 
 c) 16a2+12a 
 d) 24y2-40
 e) 27m3+9m2-18m 
 f) 6n3-2n4-10n2 
<P>
<155>
<R+>
73. Em seu caderno, copie e substitua cada lacuna pelo monmio que falta. 
<R->
 a) 6a4-3b=3'''-b
 b) 18m3+'''=29m3+8n3
 c) '''+32q=4-5p2+8q
 d) 35r-28s5=7'''-'''
 e) '''+'''=-29u4+8v6
 f) -18x2-3y3='''6x2+
  +'''

<R+>
74. Fatore, no caderno, os polinmios a seguir por agrupamento. 
<R->
 a) -4m+mn-4y+yn
 b) am-7m+8a-56
 c) 10c+20-cv-2v
 d) 10p+2pq+10v+2qv
 e) 5s+15m-2s2-6sm
 
<R+>
75. Fatore no caderno os trinmios quadrados perfeitos a seguir. Se necessrio, desenhe figuras. 
<R->
 a) 4a2+4ab+b
 b) c2+10cd+25d2
 c) x2+6xy+9y2
 d) 492-42ab+9b2
<P>
 e) y4-12y2z3+36z6
 f) 14a2-ab2+b4

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
76. Fatore as expresses a seguir no caderno. 
<R->
 a) 16-x2
 b) 4x2-64
 c) 9x2-4
 d) 49-25x2
 e) 36x2-81
 f) 100-x2

<R+>
77. Associe no caderno a diferena de quadrados  sua forma fatorada, escrevendo a letra e o smbolo romano correspondentes.  
<R->
 a) x2-9
 b) x2-16
 c) x2-25

I) x+5x-5
 II) x-4x+4
 III) x+3x-3

<R+>
78. Jair fatorou algumas expresses em seu caderno. 
<R->
 o 9x2-64=3x-83x+8
 o x2-81=x+9x+9
 o 9x2+12x+4=3x+22
 o x2-8x+16=x-4x+4
 o 25x2-16=5x-45x+4

<R+>
 a) Ele fatorou todas corretamente? 
 b) Caso Jair tenha fatorado alguma expresso incorretamente, copie-a em seu caderno corrigindo-a.
<R->

<R+>
79. Copie as igualdades a seguir em seu caderno, substituindo cada lacuna pelo termo que falta. 
<R->
<F->
a) 16x2+'''+y2=4x+y2
b) '''+10ab+25b2=a+
  +5b2
c) 15x-115x+1='''-'''
d) 49a2+'''+b2='''+'''2
e) '''+''''''-'''=9a2-
  -b2
f) '''-'''+64y2=2x-'''2
<F+>
<R->
<P>
<R+>
80. Utilizando os monmios a seguir, escreva trs trinmios quadrados perfeitos em seu caderno. Em seguida, fatore os trinmios que voc escreveu. 
<R->

<R+>
_`[{fichas: x2, 9x2, -2xy, 6xy, y2, 9y2_`]
<R->

<R+>
81. Fatore as expresses a seguir no caderno. 
<R->
 a) 3x2-27
 b) 18x2-32y2
 c) 5x2-20xy+20y2
 d) 3x3+6x2+3x
 e) 4x2-4xy3+y5
 f) 20x3-60x2y+45xy2

<R+>
82. Em seu caderno, copie e substitua cada lacuna por um dos polinmios que aparecem nas fichas a seguir, de maneira que as igualdades sejam verdadeiras. 
<R->

<R+>
_`[{fichas: x+7; 2y+3; -2x+2y; 2x+2y; 2y-3_`]
<R->

a) '''x-7=x2-49
 b) ''''''=4y2-9
 c) 9x+''''''=-4x2+4y4+9x

<156>
Mmc de polinmios

  No captulo 1, vimos como calcular o mnimo mltiplo comum (mmc) de dois ou mais nmeros. Agora, vamos aprender a calcular o mmc de polinmios.
  Veja, por exemplo, como podemos calcular o mmc de 12x4y e 4x3y2.
  Inicialmente, fatoramos os coeficientes dos monmios.

12x4y=22.3.x4.y
 4x3y2=22.x3.y2

  Depois, efetuamos o produto de todos os fatores de 12x4y e 4x3y2 considerando apenas os de maior expoente. O mmc 
<P>
`(12x4y, 4x3y2 e o produto desses fatores.

mmc`(12x4y, 4x3y2`)= 
  =22.3.x4.y2=12x4y2

  De maneira semelhante  apresentada anteriormente, vamos determinar o mmc de 24a2 e 18a2-18ab.
  Inicialmente, fatoramos os coeficientes dos polinmios.

24a2=23.3.a2
 18a2-18ab=2.32.a`(a-b`)

  Efetuamos o produto de todos os fatores dos polinmios, considerando apenas os de maior expoente, O mmc `(24a2, 18a2-
 -18ab`)=23.32.a2`(a-b`)=
 =72a2`(a-b`)
<P>
Saiba que...

  Para obter o mmc de dois polinmios, multiplicamos todos os fatores comuns dos polinmios considerando apenas os de maior expoente. Veja alguns exemplos.

<F->
o mmc6x5, 9x2y= 
  =2'32'x5'y=18x5y
6x5=2'32'x5
9x2y=32'x5'y

o mmc8a2b3, 
  12a4b2=23'3'a4' 
  'b3=24a4b3
8a2b3=23'a2'b3
12a4b2=22'3'a4'b2
<F+>

<157>
Atividades 

<R+>
83. Desenvolva no caderno os clculos para obter o mmc dos polinmios a seguir. 
<R->
 a) mmc`(x5y4, x4y5`)
 b) mmc`(5a3b, 15ab2`)
 c) mmc`(20y3, 4x2y6`)
 d) mmc`(a3b7, 8ab2`)
 e) mmc`(12x3, 4x2-6x`)
 f) mmc`(9ab5, 2a2b2+ 
  +4ab`)

<R+>
 Clculo mental
 84. Efetue os clculos mentalmente e determine qual deve ser o valor de cada lacuna para que o mmc esteja correto. 
 a) mmc5x''', 25x2=25x6
 b) mmc7xy2, 4x'''=28x3y2
 c) mmc6a2b''', 8a'''b=24a7b
 d) mmc16x'''y2z''', 4xy'''z3=
  =16x5y8z4
<R->

<R+>
85. Associe os polinmios ao mmc, escrevendo as letras e o smbolo romano correspondentes. 
<R->
 A: 8x2y4; 
 B: 12xy2; 
 C: 18x6y; 
 D: 2x3y4; 
 E: 2x3+4x2; 
 F: 16x2+8xy
<P>
I) mmc..., ...=36x6y2; 
 II) mmc..., ...=
  =40x3y42x+y; 
 III) mmc''', '''=
  =8x2y4x+2

<R+>
86. No quadro a seguir foi calculado o mmc dos polinmios: 
<R->

_`[{quadro adaptado_`]

<R+>
6x2-6xy; x2+2xy+y2; x2- 
  -y2
<R-> 

 6x2-6xy=6x`(x-y`)=2.
  .3xx-y
  x2+2xy+y2=x+yx+y=
  =x+y2
  x2-y2=x+yx+yx-y

<R+>
mmc6x2-6xy, x2+2xy+y2, x2-y2=2.3xx+y=
  =6xx+y2x-y
<R->

<R+>
De maneira semelhante, calcule no caderno o mmc dos polinmios a seguir. 
<R->
<R+>
<P>
 a) 4a2; 6a3b2; 
  18ab4 
 b) 3xy9; 15x4y5; 27x2y3 
 c) 21a3b5; 49ab2; 9a6b3+3a4b 
 d) a2b-5ab2; 24a2b4+12a2b5; 4ab3 
 e) xy4; x2y2+2xy2+y2; 8x2y3
 f) a4-4a2b+4a2b5; 25a2-9b2; 3ab3+
  +6a2b3 
<R->

<R+>
87. Fatore os polinmios a seguir e, em seguida, determine o mmc dos polinmios II e III. 
<R->
 I) 16x2+6x 
 II) 5y+xy+15+3x 
 III) x2+10x+25 

<R+>
88. Joo comprou o espelho com moldura representada a seguir. 
<R->
<P>
<F->
_`[{figura adaptada_`]
Legenda:
vd: Representa a rea verde

            4x
 !:::::::::::::::::::::::          
 l         vd            _                                                     
 l  pccccccccccccccccc  _ 
 l  l    espelho    x _  _ x+1     
 l  l                 _  _  
 l  v-----------------#  _     
 l        vd             _  
 h:::::::::::::::::::::::j  
    r:::::::::::::::::w
          3x+1
<F+>

<R+>
 a) Determine o polinmio que representa a rea do espelho.  
 b) Determine o polinmio que representa a rea da moldura, ou seja, a rea pintada de verde. 
 c) Calcule o mmc entre os polinmios que representam a rea do espelho e da moldura.  
<R->
<P>
<158>
Fraes algbricas 

  Em uma fbrica, uma mquina A produz 1.840 peas em *t* minutos. 
  Que expresso algbrica representa a produo dessa mquina em 1 minuto? 
  Para responder  pergunta, podemos escrever a expresso 
 algbrica a seguir. 

1.840t

  A expresso anterior  chamada frao algbrica.

Saiba que...
 
  Frao algbrica  uma expresso algbrica escrita em forma de frao que possui incgnitas ou variveis no denominador. 
  Em uma frao algbrica, o denominador representa um nmero diferente de zero. 
  Veja a seguir alguns exemplos. 

<R+>
2xy; ?5x2+3y*?xy+1*; ?a+b*?a-b*; ?2xy+y2*6x; 1y; y?y+2*
<R->

Atividades 

<R+>
89. De acordo com as informaes anteriores, responda s seguintes questes no caderno.
 a) Nessa mesma fbrica, uma mquina B demora 12 min a mais para produzir a mesma quantidade de peas da mquina A. Que frao 
algbrica representa a produo da mquina B em 1 min.
 b) Sabendo que a mquina A produz as 1.840 peas em 80 min, qual  a quantidade de peas que ela produz por minuto? 
E qual a quantidade de peas que a mquina B produz por minuto? 
<R->

<R+>
90. Entre as expresses a seguir, copie em seu caderno apenas as fraes algbricas.
<P>
?2x+y*3; ?2x3+y*?x-1*; ?x+7y+1*12; ?x2+3y*xy; 5x; ?9x+12y+5*2y

91. Durante a aula de Matemtica, Luciano fez uma pergunta  sua amiga Eliane. 

_`[{o menino diz: "Qual  a frao algbrica que representa um nmero *x* dividido pela adio de um nmero *y* com 4?"_`]

Qual deve ser a resposta de Eliane?
<R->

<R+>
 92. Utilizando as expresses que aparecem nas fichas, escreva trs fraes algbricas diferentes. 
Depois, encontre o valor numrico das fraes que voc escreveu para x=2 e y=5.
<R->

<R+>
_`[{fichas: 5x2+3y; y+5; x-y2; 4x+y; xy-7; 2x2y; x3y2-15_`]
<R->

<159>
<R+>
93. Para cada uma das frases a seguir, escreva uma frao algbrica no caderno. 
 a) A soma de um nmero *a* com 3 dividido por um nmero *b*.  
 b) O produto entre 2x e 5y dividido pela adio de *x* e *y*.  
 c) A diferena entre os nmeros 6a e 2b2 dividido por 5b.  
 d) Um nmero *y* dividido pelo produto de 2 e x2.
 e) O quadrado de 2x+1 menos 5, dividido pelo triplo de *y*. 
<R->

<R+>
94. Silas possui *x* latinhas de refrigerante em sua 
coleo. Dessa coleo, *y* latinhas so repetidas. 
Sabendo que Silas distribuiu as latinhas 
no repetidas em *z* prateleiras, qual  a frao 
algbrica que representa a quantidade de latinhas 
que 
<P>
  ele vai colocar em cada prateleira? 
<R->

<R+>
Ateno: A quantidade de latinhas que Silas colocou em cada prateleira  a mesma. 
<R->

<R+>
95. As despesas de uma festa de final de ano em uma empresa 
foi de R$1.350,00. Esse total seria dividido entre todos os 
funcionrios, porm, na ltima hora, 3 deles desistiram de ir 
 festa. Com isso, os demais tiveram de pagar, alm de sua 
parte, R$5,00 a mais.
<R->
<R+>
 Considere *p* a quantidade de funcionrios da empresa e resolva os itens a seguir. 
 a) Escreva a frao algbrica que representa a quantia que cada funcionrio pagaria se no houvesse a desistncia dos 3 funcionrios. 
 b) Qual expresso algbrica representa a quantidade de fun-
<P>
  cionrios que de fato pagaram a festa? 
 c) Qual frao algbrica representa a quantia que cada funcionrio pagou? 
<R->

Simplificao de fraes 
  algbricas 

  Utilizando a simplificao de fraes e os casos de fatorao 
vistos anteriormente, podemos simplificar fraes algbricas. 

<R+>
_`[{a menina pensa: "6x24xy"_`]
<R->

  Veja a simplificao das fraes:  

<R+>
6x24xy=?2'3'x'x*
  ?2'2'x'y*=3x2y
<R->

  Nesse caso, decompomos os termos e dividimos fatores comuns.

?5x2-15x*?4x2y-12xy*=
  =?5'x'x-3*?4'x'yx-3*=
  =54y
  Nesse caso, para simplificar a frao algbrica, fatoramos o numerador e o denominador e, em seguida, dividimos os fatores comuns.  
<160>
  Veja outros exemplos de simplificao de fraes algbricas utilizando fatorao de polinmios. 

<F->
?a2+3a*?a2-9*=?aa+3*
  ?a-3a+3*=a?a-3*
a2-9: diferena de quadrados
<F+>

<R+>
Ateno: A frao algbrica aa-3  irredutvel, pois o termo *a* do numerador no pode ser cancelado com o *a* do denominador, porque este ltimo no  um fator.  
<R->

<F->
?a2-1*?a2-2a+1*=
  =?a-1a+1*?a-1a-1*=
  =?a+1*?a-1*
a2-2a+1: trinmio quadrado 
  perfeito
<F+>
<P>
Atividades
 
<R+>
96. Simplifique, no caderno, as fraes algbricas a seguir. 
 a) 10x25x3
 b) ?16x5y*?24x4y2*
 c) 36x?18x-30*
 d) 3?9x-27*
 e) ?6x-12*?2x2-4x*
 f) ?7x2+28x*?x3+4x2*
 
97. Qual  o par de fraes que, simplificadas, tm o mesmo resultado?  
 A: ?8x4y*?20xy2*
 B: ?8x4+2xy*?6xy-12xy2*
 C: ?6x4+6y*?10x-y2*
 D: ?10x6y2*?4x3y3*
 E: ?20x3+5y*?15y-30y2*
<R->

<R+>
98. Escreva uma frao algbrica de acordo com a frase do quadro a seguir.
<R->
<P> 
<F->
pcccccccccccccccccccccccccccc
l O quadrado de um nmero   _
l   *x* menos o seu triplo,  _
l   dividido pelo quadrado   _
l   de *x*.                  _
h::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<R+>
 Depois, simplifique a frao que voc escreveu e, em seguida, escreva uma frase semelhante  do quadro para representar o resultado.
<R->

<R+>
99. Simplifique em seu caderno as fraes a seguir. 
 a) ?a2+4a+4*?a2-4*
 b) ?9a2-36*?a2-4a+4*
 c) ?a2-9*?a2+6a+9*
 d) ?a+1*?a2+2a+1*
 e) ?a2+8a+16*?a2+4a*
 f) ?25a2-25*?5a2+5a*

Desafio
 100. Em seu caderno, copie e substitua cada lacuna por um dos polinmios a seguir, de maneira 
<P>
  que as igualdades sejam verdadeiras. 
<R->

<R+>
_`[{fichas: 4b+2; a+4b; 4a+b; 12b+4ab_`]
<R->

 a) ?9-a2*'''=?3-a*4b
 b) '''?4a-b*=?16a2+8ab+ 
  +b2*?16a2-b2*
 c) ?16b2+16b+4*?12ab+ 
  +6a*='''3a
 d) ?2a2+8ab*?a2+8ab+ 
  +16b2*=2a'''
 
<161>
Complementando...

<R+>
101. Escreva as expresses algbricas que representam as situaes a seguir. 
 a) A rea de um quadrado com lado medindo *x*. 
 b) Se Paulo possui *n* figurinhas e Jos possui 5 a mais do que Paulo, represente a quantia de figurinhas de Jos. 
 c) O preo de *x* quilogramas de tomate, sabendo que o preo, por quilograma,  R$0,53. 
 d) O permetro de um heptgono regular cujo lado mede *y*.  
 e) A medida do ngulo suplementar ao ngulo que mede *x*. 
<R->

<R+>
102. Em uma balana foram colocadas uma penca de bananas e trs mas como na figura a seguir. 

_`[{figura: uma balana digital contendo uma penca de bananas e trs mas, o visor marca 1,500 kg_`]
<R->

<R+>
Se a massa da penca de bananas  *x*, qual a expresso algbrica que representa a massa das trs mas? E qual expresso alg-
  brica repreenta a massa de uma nica ma?  
<R->

<R+>
103. Uma empresa telefnica fez uma promoo na qual o cliente paga uma taxa fixa de R$15,90 por ms, mais R$0,07 por minuto em ligaes locais. 
 a) Representando o gasto, em reais, por G e o tempo, em minutos, por *t*, escreva uma frmula que permita calcular o gasto mensal de um cliente que utiliza este plano e faz somente ligaes locais. 
 b) Quanto este cliente gastou em um ms que falou ao telefone 200 min em ligaes locais? 
<R->

<R+>
104. A figura a seguir mostra algumas possibilidades para a disposio de mesas e cadeiras em uma festa. Para mesas individuais, utilizam-se 4 cadeiras; para 2 mesas juntas, utilizam-se 6 cadeiras e para 3 mesas juntas, utilizam-se 8 cadeiras. 
<R->

_`[{figura adaptada_`]

<R+>
Uma mesa com quatro cadeiras; duas mesas juntas com seis cadeiras; trs mesas juntas com oito cadeiras.
<R->

<R+>
Quantas cadeiras seriam necessrias para: 
 4 mesas juntas? 
 7 mesas juntas? 
 10 mesas juntas? 
 Escreva, em seu caderno, uma expresso que represente o nmero de cadeiras para uma quantidade *n* de mesas juntas.  
<R->

<R+>
105. A funcionria de uma loja de calados recebe um salrio fixo de R$400,00 e mais 3% do valor de todas as vendas que efetuou no ms. 
 a) Qual ser o salrio da funcionria no ms em que ela vender R$20.000,00 em produtos? E se ela vender R$30.000,00? 
 b) Se *x*  o valor das vendas realizadas no ms, escreva uma expresso algbrica que represente o salrio da funcionria. 

106. Larissa tem certa quantidade de CDs. Eduarda tem 6 CDs a mais que Larissa e Bruno tem o triplo da quantidade de Eduarda. 
 a) Representando a quantidade de CDs de Larissa por *x*, qual a quantidade de CDs de Eduarda? E a de Bruno? 
 b) Representando a quantidade de CDs de Bruno por *y*, qual a quantidade de CDs de Larissa? E a de Eduarda?  
 c) Se Eduarda tem 14 CDs, qual a quantidade de CDs de Larissa? E a de Bruno?  

107. Qual  o permetro de um tringulo equiltero cujo lado mede: 
<R->
 a) 1 cm? 
 b) 2 cm?  
 c) 3 cm?
 d) x?  
<R+>
 Qual o permetro de um tringulo regular de lado medindo 111 cm? 

108. O permetro de um retngulo de comprimento *c* e largura *l*  dado por 2`(c+l`). 
 a) Essa expresso  um monmio? 
 b)  possvel expressar o permetro de um quadrado de lado *l* por um monmio? Qual monmio?  

109. Qual deve ser o valor de ''', para que a adio de mon-
  mios a seguir resulte em um monmio?  

x+'''y+2x-3y
<R->

<R+>
110. Efetue os clculos no caderno. 
<R->
 a) 2x4.2x4 
 b) 8a4a 
 c) `(-2y`).`(-2y`)
 d) `(x3y4)2 
 e) x3y29xy  
 f) 18x36x2 

<R+>
111. Qual  o volume de um cubo de aresta 2x?  
<R->

<R+>
112. Escreva os polinmios a seguir na forma reduzida. Depois, classifique cada polinmio na 
<P>
  forma reduzida em monmio, binmio ou trinmio. 
 a) 4x8y+3`(x-x8y`)+6x-
  -`(3x8y+9x`) 
 b) 3x2y+4-2y2-3x2y+
  +4y2+2 
 c) 3`(5ab+2`)+a2-2-3ab-
  -4a2 
 d) 3`(x-5`)-2x+5`(xy+3`)-
  -`(x+xy`)
 e) 3`(xy+y`)-2`(x+y`)-
  -3`(xy+2`)

113. O polinmio x2+2xy+y2 assume maior valor numrico em x=2 e y=0 ou em x=6 e y=-5? Que valor? 

<R+>
_`[{para as atividades 114 e 115, pea orientao ao professor_`]

114. Escreva no caderno um polinmio que represente a rea da figura. _`[No adaptada_`]
 Calcule a rea da figura para a=2 e b=4. 
<R->
<P>
<R+>
115. A figura _`[no adaptada_`]  formada por trs quadrados e um tringulo. 
 a) Qual  o monmio que representa o permetro de cada quadrado? 
 b) Qual  o monmio que representa o permetro da figura?  
 c) Calcule o permetro da figura para x=2 cm.

116. Qual  o volume de um paraleleppedo de dimenses x-1, 3x e x+2?  
 
117. Na figura a seguir esto indicadas as reas de trs retngulos. 
<R->
<P>
<F->
   pcccccpccccccccccccc          
   l     l             _                                                     
   l 4x l             _  
   l     l             _
   l     l             _
   l     l             _      
   r:::::r:::::::::::::w   
   l     l             _     
 x l x2l     7x     _    
   l     l             _
   h:::::h:::::::::::::j  
      x
<F+>

<R+>
 a) Escreva uma expresso que represente a rea total da figura. 
 b) Qual a rea total da figura se x=3? 
<R->

<R+>
118. Que polinmio multiplicado por -4y tem como resultado 4y3-4x2y? 
 119. Um retngulo de comprimento 2x tem rea 6x2+4x. Qual  a largura desse retngulo? 
<R->
<R+>
120. Qual  o valor de x2-y2 se x-y=1 e xy=12?
<R->
<P>
<R+>
 121. Que monmio deve ser adicionado a x2+4 para obtermos o quadrado da diferena de dois termos? 
<R->

<R+>
122. O trinmio 4x2+12x+9  o quadrado da soma de quais termos?  
<R->
 a) 4x e 3 
 b) 2x e 9
 c) 2x e 3 
 d) 4x e 9
 e) 2x e 6 
 
<R+>
123. As letras A, B, C e D esto associadas a alguns polinmios em sua forma fatorada.
<R->
 A=2'32'x'y
 B=2x+32x-3
 C=2x-32
 D=x+12x+3
 Calcule o mmc de: 
 a) A e B 
 b) B e C
 c) C e D 
 d) B e D  

<R+>
124. Efetue os clculos em seu caderno e determine qual  o monmio que cada lacuna representa. 
<R->
 a) mmc`(5x4, '''`)=20x5
 b) mmc`(8x6, 6x2`)='''
 c) mmc`(''', 4x2y3`)= 
  =28x6y4
 d) mmc`(6x4y, 2x3y4`)=''' 

<R+>
125. Em uma fbrica h 5 mquinas. Cada uma dessas mquinas produz *x* peas por dia, sendo que *y* peas no so de boa qualidade e, 
por isso, no so comercializadas. A produo total de peas que ser comercializada  embalada em *z* caixas. 
 a) Qual  a frao algbrica que representa a quantidade de peas embaladas por caixa? 
 b) Se cada mquina produzir 100 peas por dia, das quais 5 so descartadas e se a produo for embalada em 19 caixas, qual ser a quantidade de peas por caixa? 
<R->

<R+>
126. Simplifique no caderno. Depois, determine o valor numrico das fraes algbricas para x=2 e y=-1. 
<R->
 a) ?72xy-32y*?24y2-16xy*
 b) ?70xy2+28x*?7x2-21x*

<163>
Algo a mais 

O ndice de Massa Corporal 

  No incio do captulo vimos que as frmulas so sentenas matemticas 
que mostram de maneira resumida os clculos que devem ser 
realizados para chegarmos a um determinado resultado. Vimos tambm 
que as letras indicadas nessas frmulas so variveis, pois podem 
assumir diversos valores. 
  Em nosso dia a dia nos deparamos com situaes nas quais fazemos 
uso de algumas frmulas, mesmo sem perceber, por exemplo, 
quando decidimos fazer um bolo e precisamos saber a quantidade de 
ingredientes que vamos utilizar, e se a quantidade de bolo ser suficiente 
para o nmero de pessoas que iro com-lo. Alm disso, muitos 
profissionais, como engenheiros, matemticos, qumicos, agrnomos, 
farmacuticos utilizam frmulas em suas atividades. 
  Na rea de sade, dentre outras frmulas,  utilizada uma que permite calcular o 
ndice de Massa Corporal (IMC) de uma pessoa. 
Com o ndice, pode-se indicar seu grau de obesidade. 
  Essa frmula  dada por: 

<R+>
I=Pa2 em que P  a massa do indivduo (kg) e *a*  a altura (cm).
<R->

  A partir do resultado obtido na frmula, podemos interpretar o IMC de acordo com a tabela a seguir.

<R+>
_`[{tabela adaptada "Interpretao do ndice de Massa Corporal (IMC)", com duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Categoria
 2 coluna: IMC

Abaixo do peso; Abaixo de 18,5
 Peso normal; 18,5 -- 24,9
 Sobrepeso; 25,0 -- 29,9
 Obesidade de Grau I; 30,0 -- 34,9
 Obesidade de Grau II; 35,0 -- 39,9
 Obesidade de Grau III; 40,0 e acima  
<R->

<R+>
ASSOCIAO BRASILEIRA PARA O ESTUDO DA OBESIDADE E DA SNDROME METABLICA. 
*Calcule seu IMC*. Disponvel em: ~,www.abeso.org.br~, 
  Acesso em: 2 fev. 2009. 
<R->

  O nmero obtido a partir da frmula do IMC permite ao profissional avaliar cada paciente de acordo com a altura e a massa dele, e tomar algumas decises, como a realizao de outros testes e exames. 

<R+>
1. Voc acha importante a utilizao das frmulas? Justifique sua resposta. 
 2. Cite outros exemplos de frmulas que voc conhece e em que rea ela  aplicada. 
 3. De acordo com a frmula apresentada, qual o IMC de uma pessoa com 1,68 m e 72 kg? Em qual das categorias indicadas na tabela essa pessoa se encontra? 
<R->

<164>
Atividades de reviso 

<R+>
1. Nas expresses a seguir, as letras representam os nmeros indicados no quadro. Substitua as letras pelos nmeros corres-
  pondentes e determine o valor numrico de cada expresso. 
<R->

5-3d; 4c+3a; 2a+b2; 
  4b-7e

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::
l a=12; b=7; c=-5; d=4; _
l e=10                     _
h:::::::::::::::::::::::::::j
<F+>
<R+>
 2. Jairo foi a uma papelaria e comprou 2 cadernos e 3 canetas. 
 a) Representando por *x* o preo pago pelo caderno e *y* o pago pela caneta, escreva no caderno a expresso que representa o 
  preo de todos os produtos que Jairo comprou.  
 b) Supondo que cada caderno custa R$18,70 e cada caneta R$0,80, quantos reais Jairo teria gasto nessa compra?  

3. Escreva a frmula que representa a rea total A da figura a seguir. 
<R->

<F->
  pcccc        pcccccc          
  l    _     2 l      _                                                     
x l    _        l      _ x
  l    _--------l      _      
  l    _        l      _  
  l    _        l      _
  v----#--------v------#                             
  ccccc_cccccccclccccccc
   3       5      x
<F+>
 
<R+>
4. Nelson tem uma lanchonete na escola. Para vender seus produtos, ele acrescenta 25% ao valor pago pela mercadoria. 
 a) Escreva uma frmula para indicar o preo de venda *P* de cada produto *x*. 
 b) Por quantos reais Nelson vende um refrigerante no qual pagou R$1,72?  
 c) Se Nelson pagou R$59,00 por uma mercadoria, por quantos reais ele tem de vend-la para manter essa porcentagem?  
<R->

<R+>
5. A unidade monetria (moeda) utilizada no Brasil  o real. Veja na tabela a seguir outras moedas e os seus valores para compra em relao ao real no dia 26 de setembro de 2008.  
<R->
<P>
<F->
_`[{tabela adaptada_`]

Cotao em relao ao real 
     26/09/2008

:::::::::::::::::!:::::::::::::::
Moeda           l Compra 
                 l (em R$)
:::::::::::::::::r:::::::::::::::
Dlar US$   l 1,83
Euro (EUR)  l 2,57
Iene (JPY)  l 0,02
<F+>

<R+>
BANCO CENTRAL DO BRASIL. Cmbio e capitais estrangeiros. 
  Disponvel em: ~,www.bcb.gov.~ br~, Acesso em: 26 set. 2008. 
<R->

<R+>
De acordo com os dados da tabela, responda s questes a seguir. 
 a) Nessa data, quantos reais correspondiam a: 
  20 dlares? 
  14 euros? 
  260 ienes? 
<P>
 b) Escreva, no caderno, uma frmula que permita calcular quantos reais R correspondiam a: 
<R->
 x dlares 
 y euros 
 z ienes 

<R+>
6. Quais devem ser os valores de *a* e *b* em cada item para que os pares de monmios sejam seme- lhantes? 
<R->
 I) 2x4y3 5xayb
 II) -3xay2 5x5y2b
 III) x-ay6 -7x2y3b
 IV) 8x2ay9 5x6y-3b

<R+>
7. Utilizando dois ou trs dos monmios das fichas a seguir, escreva no caderno uma multiplicao cujo resultado seja: 
<R->

<R+>
_`[{fichas: 2xy2, 5x, 3x2y, 4y, x2y3_`]
<R->

 a) 2x3y5
 b) 12x2y2
 c) 20xy
 d) 15x5y4
 e) 40x2y3
 f) 10x2y2
 
<R+>
8. Escreva o monmio que representa a rea total da planificao do paraleleppedo.  
<R->

_`[{figura adaptada_`]

<R+>
Paraleleppedo com as seguintes dimenses: Comprimento 3ab, largura 
3ab e altura #:ab.
<R->

<165>
<R+>
 9. Qual  o monmio que representa a rea de cada uma das figuras?  
<R->

_`[{figuras no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 Clculo mental
 10. Calcule mentalmente o resultado dos clculos a seguir. 
 a) 15x45x2
 b) 10y52y4
 c) 8x64x6
 d) 9a73b5
<R->

<R+>
11. Associe os clculos aos seus resultados, escrevendo a letra e o smbolo romano correspondentes. 
<R->
 A: 4x2y2x
 B: x6y4x3y4x3y
 C: 12x2y53xy2
 D: 10x4y55x2y3
 E: 49x5y37xy2

 I) 4xy3
 II) 2xy
 III) x3y3
 IV) 2x2y2
 V) 7x4y 

<R+>
 Desafio
 12. Sabendo que o volume do paraleleppedo a seguir  120x5y4, qual  o monmio que representa sua altura?
<R->
<P>
_`[{figura adaptada_`]
 Legenda: 
 y: Representa a altura.

<R+>
Paraleleppedo com as seguintes dimenses: comprimento 4xy, largura 3x2y e altura *y*.
<R->

<R+>
13. De acordo com o empilhamento dos paraleleppedos a seguir, responda. 
<R->

_`[{figura adaptada_`]

<R+>
A pilha  composta por trs paraleleppedos sobrepostos, com as seguintes dimenses:
 Paraleleppedo 1: Comprimento xy, largura x22 e altura 3y.
 Paraleleppedo 2: Comprimento xy2y, largura *x* e altura 2xy3.
 Paraleleppedo 3: Comprimento *x*, largura *y* e altura xy3.
<R->
<P>
<R+>
 a) Que polinmio representa o volume dessa pilha?
 b) Qual  o volume dessa pilha se x=3 cm e y=2 cm?
<R->

<R+>
14. Associe uma ficha azul a uma ficha amarela de modo que, simplificando as expresses, o resultado seja o mesmo. Para is-
  so, escreva a letra e o smbolo romano correspondentes. 
<R->

<F->
_`[{fichas azuis_`]

A: 3x2y+5x2y
B: 9x5y23x3
C: 6xy3-5xy3
D: 12x2y4xy
E: 2xy2'3x

_`[{fichas amarelas_`]

I) 5x2y2-2x2y2
II) x2y2+5x2y2
III) 3x8y2x7y2
IV) 2x'4xy
V) 3x4y43x3y
<F+>

<R+>
15. Efetue no caderno os clculos a seguir. 
 a) `(x+3`)`(5y+1`) 
 b) `(4x2-y`)`(x2-10`) 
 c) `(x-2`)`(9-4y`) 
 d) `(x+7`)`(3x+2`) 
 e) `(2x+5`)`(x-y`)
 f) `(4x-y`)`(3x-2`) 
<R->

<R+>
16. Escreva, para cada item, o trinmio quadrado perfeito que representa a rea do quadrado. 
<R->
<F->
a)
    3a     b
 r:::::::::r:::w
 !:::::::::!::::
 l         l   _
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<F+>
<P>
<F->
b)
     7m    3n
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 l         l   _  _
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 h:::::::::h:::j: j
<F+>

<R+>
17. Em cada item a seguir, substitua as letras pelas expresses correspondentes e simplifique. 
<R->
 A=y2+2
 B=y2-2
 C=5x-1
 D=5x+1

 a) A.B-D 
 b) C2-C.D 
 c) D.B+A2
 d) D2-C2+A
<P>
<R+>
18. Mauro cria algumas galinhas em um cercado de forma quadrada. Para ampliar o cercado, ele aumentou em 4 m cada um de seus lados. 
 a) Qual  o polinmio que representa a rea do cercado antes de ampliado? 
 b) Qual  o polinmio que representa a rea do cercado depois de ampliado? 
 c) Sabendo que x=10 m, qual passou a ser a rea do cercado depois de ampliado? 
 d) Em quantos metros quadrados Mauro ampliou o cercado? 
<R->

<F->
                      x      4
   pccccccccc    pccccccccccc     
   l         _    l         _  _                                                 
   l         _    l         _  _
 x l         _ :o l         _  _   
   l         _    l         _  _ 
   l         _    l         _  _    
   v---------#    v---------#  _
               4 l            _
                  v------------#
<F+>

<R+>
19. Para cada item a seguir, escreva uma expresso algbrica e, em seguida, simplifique-a. 
 a) O produto de `(3x-1`) por `(3x+1`) menos o dobro de `(x+4`). 
 b) O quntuplo de `(2a2+b`) mais o produto de `(-a+2b`) por `(-a-2b`). 
 c) A diviso de (2a2b4+8ab4) por 2b4 mais o produto de `(a-2b3`) por `(a+2b3`). 
<R->

<R+>
20. Responda s questes a seguir em seu caderno. 
 a) Qual  o polinmio que devemos adicionar a `(a+2b`)2 para obtermos `(3a2-ab+4b2`)? 
 b) Qual  o polinmio que devemos subtrair de `(3a-5b`)2 para obtermos `(a2+15ab-20b2`)? 
 c) Qual  o polinmio que devemos adicionar a `(6a+b2`)
  `(6a-b2`) para obtermos `(37a2+4b4-6b2)? 
<R->

<R+>
21. Fatore no caderno os polinmios a seguir. 
<R->
 a) 21x2+42x-35 
 b) 3x2-12x+18 
 c) -12x2+24x+8 
 d) 20x2-15x-30
 e) -32x2-8x+16
 f) 24x2+12x+6

<R+>
22. Simplifique as expresses a seguir, sabendo que os denominadores so diferentes de zero. 
<R->

<R+>
Lembre-se: A expresso ?8a4b3-4a2b2*2b  equivalente a 8a4b3-4a2b2 2b.
<R->

a) ?8a4b3-4a2b2*
  2b
 b) ?2a2b5+ab-4a2b*ab
 c) ?12x10y3-6x+9xy2*3x
 d) ?ab5c2+a2b7c+ 
  +3b16c2*b4c
<P>
<R+>
23. Simplifique cada expresso a seguir at obter um trinmio quadrado perfeito. Depois fatore-o. 
 a) 4x`(x+y`)+y2 
 b) x`(x+3y`)+3y`(3y+x`) 
 c) 3x`(3x-8y`)+2y.8y 
 d) 4`(x`(9x-6y`)+y2`) 
 e) 7x2`(7x2+2y`)+y2 
 f) x4+2x.4x3-5y3`(6x2-
  -5y3`) 
<R->

<R+>
24. O supermercado Superbom est vendendo um pacote de arroz de 5 kg por *x* reais. No supermercado Preo Baixo, o mesmo pacote de arroz est sendo vendido por R$1,05 a menos. 
Escreva no caderno, uma expresso que represente a quantidade de pacotes de arroz que  possvel comprar com *m* reais no supermercado: 
<R->
 a) Superbom 
 b) Preo Baixo 

<R+>
25. Escreva as fraes a seguir de maneira simplificada. 
<R->
 a) 8x4y26y
 b) ?3x4-2x3*x2
 c) ?8xy2+24y2*?3x2y+
  +9xy*
 d) ?x2-16*?7x+28*
 e) ?5x+15*?x2+6x+9*
 f) ?4x2+12x+9*?4x2-9* 
<R->

<167>
Lendo textos 

O emprego das letras no clculo 

  Os gregos j empregavam letras para designar nmeros e mesmo objetos.  com 
os gregos que surgem os primeiros vestgios do clculo aritmtico efetuado sobre 
*letras*. Diofanto de Alexandria (300 a.C.) empregava as letras com *abreviao*, mas 
s tinha um simbolismo perfeitamente sistematizado para uma nica quantidade, 
para as suas potncias at a sexta e para os inversos dessas potncias. Em geral, os 
gregos representavam as quantidades por linhas, determinadas por uma ou duas 
letras, e raciocinavam como em geometria. 
  Os clculos sobre letras so mais numerosos nos autores hindus do que nos gregos. 
Os rabes do Oriente empregavam smbolos algbricos a partir da publicao 
da *Aljebr walmukbala* de 
 Alkarism (sculo IX) e os rabes do Ocidente, a partir do 
sculo XII; no sculo XV, 
 Alcalsdi introduz novos smbolos. 
  A lgebra moderna s adquire carter 
prprio, independente da Aritmtica, a 
partir de Vite, que sistematicamente substitui 
a lgebra numrica pela lgebra dos 
smbolos. 
  Vite no empregava o termo *lgebra*, e 
sim *Anlise*, para designar esta parte da 
cincia matemtica onde brilha seu nome. 
  Outrora, atribua-se a origem da palavra 
lgebra ao nome do matemtico rabe 
Geber; na realidade, essa origem acha-se 
na opera-
<P>
o que os rabes denominavam 
 *aljebr*. 

<R+>
_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Folha de rosto da traduo de Aritmtica, de 
  Diofanto, publicada em 1621.
<R->

<R+>
LISBOA, Almeida. O emprego das letras no clculo. In: SOUZA, 
Jlio Csar de Mello e. *Matemtica divertida e curiosa*. Rio de Janeiro: Record, 1991. 2. ed. p. 48-9. 
<R->

<R+>
Em sua opinio, qual a importncia de utilizarmos letras e nmeros para representar expresses, equaes e frmulas? 
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quinta Parte

